Правило Лопиталя. Случай 0/0.

Теорема 1: (Неопределенность вида 0/0)

Пусть f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки а,

в этой окрестности и в той же окрестности, тогда, если , то

Доказательство:

1) a – конечное.

Доопределим функции: f(a)=0 и g(а) = 0; f(x) и g(x) непрерывны на [a;x]

при

f(a)=g(a)=0 =>

2)

Пусть

Введем функции и

Теорема доказана.

Замечание: обратное неверно.

Пример:

Билет 25

Раскрытие неопределенностей вида , , , , .

Кроме рассмотренных неопределенностей и , встречаются неопределенности вида , , , , , определение которых очевидно. Эти неопределенности сводятся к неопределенностям или алгебраическими преобразованиями.

1. Неопределенность ( при ).

Ясно, что или .

2. Неопределенности вида , , для выражения сводятся к неопределенности .

Согласно определению этой функции . , то .

3. Неопределенность ( , , при )

Легко видеть, что .

Билет 26

Асимптота. Виды асимптот. Уравнение наклонной асимптоты.

Определение: Прямая называется наклонной асимптотой функции f(x) при , если f определена в окрестности точки и расстояние между графиком и прямой стремится к нулю.

Уравнение наклонной асимптоты:

Пусть - асимптота при

, , ,

, , , значит ,

Замечание: возможен случай, когда k существует, а b – нет, в этом случае асимптот нет!

Билет 27

Первообрáзная. Неопределенный интеграл. Свойства.

Определение 1: Функция F называется первообразной функции f на интервале (a,b), если функция f непрерывна на интервале (a,b), и для всех x из этого интервала выполняется равенство: F΄(x)=f(x).

Замечание: Вместо (a,b) можно рассматривать [a,b], (a,b] и [a,b), но нужно будет говорить про односторонние производные: =f(a), и =f(b).

Пример

.

на промежутке (-∞,0) и на (0,+∞).

Теорема:(О множестве всех первообразных).

Пусть F(x) является первообразной функции f(x) на промежутке I, тогда функции вида F(x)+C и только они являются первообразными функции f(x), где C – произвольная константа.

Доказательство:

Пусть функция F(x) – первообразная функции f(x), тогда F΄(x)= f(x) и (F(x)+C)΄ = f(x). Пусть функции F и G – первообразные функции f(x) на промежутке I (нужно доказать, что они отличаются на константу).

Вводим функцию H = G – F, тогда H(x) – дифференцируема на (a, b)

По теореме Лагранжа, H = c.

Теорема доказана.

Определение 2: Множество всех первообразных функции f(x) на промежутке I называется неопределенным интегралом и обозначается . При этом если функция F(x) – первообразная функции f(x), то .

Пример:

.

Свойства первообразных и неопределенного интеграла.

1. Пусть функция f(x) имеет первообразную F(x) на промежутке I и функция g(x) имеет первообразную G(x) на промежутке I, тогда функция f(x)±g(x) будет иметь первообразную F(x)±G(x) на промежутке I. Для интегралов: .

Замечание: Обратное неверно! Из существования интеграла не следует существование интегралов и .

2. Первообразной функции k·f(x) является функция k·F(x). Для интегралов: .

3. Первообразной производной функции f΄(x) является сама функция f(x). Для интегралов: .

4. (по определению).

Билет 28