§7. Кинематические характеристики точки в сферических координатах.
Как отметили в §5, формулы связи декартовых и сферических координат имеют вид:
=
,
=
,
=
,
=
.
Полагаем
= , = , = .
1. Вычислим базис криволинейной аффинной системы координат
= , .
Коэффициенты Ламе будут выражаться через криволинейные координаты , , по формулам:
;
;
.
А
тогда
=
=
=
+
+
,
=
=
=-
+
=
,
=
=
=-
-
+
=
.
2.
Легко показать, что (
,
)
,
=1,
,
,
т.е. сферическая система координат —
ортогональная.
3. Вычислим скорость в проекциях на орты , , , т.е. вычислим ковариантные координаты , , скорости . Поскольку сферическая система координат ортогональная, то
=
=
=
=
,
=
=
=
=
,
=
=
=
=
.
=
=
=
,
Из этих соотношений легко находятся направляющие косинусы в системе :
(
+
+
,
,
,
.
4.
Вычислим ускорение
в проекциях на орты
,
,
,
используя формулу Лагранжа. Для этого
построим
:
=
.
Тогда
=
,
=
.
Отсюда, применяя формулу Лагранжа,
находим
=
=
=
-
=
. (1)
Аналогично
для
получаем
=
,
,
.(2)
В
свою очередь для
будем иметь
=
,
=
,
=
=
=
-
=
+
+
. (3)
Подстановкой (1),(2),(3)
в формулу
=
=
можем выписать выражение для модуля
ускорения
.
Подстановка , , , в соотношения
= ( - - ),
= ( + - ),
= ( + )
дает
формулы связи направляющих косинусов
вектора
в системе
с криволинейными координатами
,
,
,
обобщенными скоростями
, 
, 
и обобщенными ускорениями
, 
, 
.