8º. Скорость точки в криволинейной системе координат.

Лемма Лагранжа.

Пусть задано движение точки в криволинейных координатах

= , .

Определение 10.

Величина  называется обобщенной скоростью точки  по координате  в момент времени  . Величина  называется обобщенным ускорением точки  по координате в момент времени  .

Установим формулу связи скорости и ее контравариантных координат  с обобщенными скоростями в произвольный момент времени . Поскольку в векторной форме движение задается формулой

,

то по определению скорости можем записать

= .

С одной стороны, вычисляя производную с учетом того, что функция, стоящая под символом , является суперпозицией вектор-функции  от трех переменных ,  ,  и заданных функций ,  ,  , зависящих от времени , будем иметь

= = . (26)

С другой стороны, вектор можем разложить по базису ,  ,  , вычисленному в точке  , имеющей значения криволинейных координат = , = , = в заданный момент времени . И тогда придем к следующему выражению для :

. (27)

Согласно определению координат любого вектора, множители при базисных векторах ,  ,  в разложении (27) называются контравариантными координатами скорости в аффинной системе, имеющей начало в точке  .

Сопоставляя (26) и (27), получаем

= , . (28)

Здесь — коэффициент Ламе по координате , соответствующий моменту времени .

Формула (28) дает связь контравариантных координат скорости с обобщенными скоростями , .

С учетом (27) и (28), находим выражение для квадрата модуля скорости:

. (29)

Установим теперь связь ковариантных координат ,  , с обобщенными скоростями . Согласно определению ковариантной координаты имеем . Подставляя (27) и (28), находим искомую связь

. (30)

В частности, из (28), (29) и (30) можем сделать следующий вывод.

Если — ортогональный ортонормированный базис при любых значениях ,  ,  (т.е. криволинейные координаты ,  ,  — ортогональные), то

= , , и = .

В общем случае (когда криволинейные координаты — не ортогональные) ковариантные и контравариантные координаты будут отличаться друг от друга:

 , .

Дадим другой способ вычисления координат  . Для этого сначала введем в рассмотрение функцию  , зависящую от шести независимых переменных, и докажем лемму Лагранжа, устанавливающую связь производных от функции  и от функции .

Указанную функцию  определим следующей формулой

. (31)

Независимыми переменными в ней будем считать криволинейные координаты  ,  ,  и обобщенные скорости  ,  ,  . Следует заметить, что точка, стоящая в обозначениях переменных  ,  ,  , не означает дифференцирование переменных  ,  ,  по времени  . Это всего лишь символ в данных обозначениях.

В правой части равенства (31) вектор  является вектор-функцией , задающей связь (1) криволинейных координат точки с декартовыми.

Функцию будем считать заданной при всех и при любых значениях  ,  ,  .

Поскольку дважды непрерывно дифференцируема по своим аргументам, то будет непрерывно дифференцируема по переменным  ,  ,  . Кроме того, она линейна по обобщенным скоростям  ,  ,  .

Пусть задано произвольное движение точки  в криволинейных координатах , . Вычислим значения функции  на этом движении, полагая, что переменные , , связаны с обобщенными скоростями  в любой момент времени на данном движении равенствами

, .

Для того чтобы вычислить искомое значение функции, необходимо заменить в правой части равенства (31) переменные  на , а — на  ,  .

Действительно, согласно определению мгновенной скорости  в момент времени  , необходимо вычислить движение , а затем взять производную по от него. Так что будем иметь

.

Это выражение будет совпадать со значением функции  , задаваемым формулой (31), в котором переменные  заменены на  , а на  для .

В результате получим вектор  , совпадающий по значению с вектором  , вычисленным по формуле (26).

Поскольку установленное таким образом равенство справедливо на любом движении и в любой момент времени , то можем сделать заключение о том, что формула (31) дает связь обобщенных скоростей точки с ее скоростью в абсолютном пространстве в соответствующем положении

= .

Установим теперь связь производных  от функции  с производными   и  от функции  . Такая связь дается леммой Лагранжа. Прежде чем формулировать лемму Лагранжа, введем понятие производной от функции  вдоль движений точки  .

Вычислим производную  от функции  и обозначим ее . Пусть задано движение точки  в криволинейных координатах

, . (32)

Определим значения функции  , которые она может принимать на движении (32). Ясно, что эти значения задаются вектор-функцией  , которая получается заменой в аргументов на правые части (32).

Вычислим производную по  от функции  .

. (33)

Функция  , стоящая в левой части (33), имеет смысл скорости изменения функции  вдоль движения (32). В правой части (33) указывается ее аналитический вид, построенный по правилам дифференцирования по времени  функции  как сложной функции, в которой аргументы  ,  , задаются движением (32).

Как известно, правило дифференцирования сложной функции предполагает выполнение следующих операций.

1. Вычисление частных производных от функции  . В результате получают три функции,

, ,

зависящие от трех переменных  .

2. Каждая функция  с номером  умножается на переменную  , и производится суммирование по всех построенных произведений. В результате будет построена функция, зависящая от шести переменных  и . Будем записывать эту функцию в операторной форме или, что то же самое, в форме  . В явном выражении этот оператор принимает вид:

. (34)

3. В построенной на этапе 2 функции (34) переменные  заменяются функциями  , а переменные  — производными  ,  , где — правые части (32), определяющие заданное движение материальной точки.

Результатом произведенных действий, описанных на этапах 1,2,3, является функция, зависящая только от одной независимой переменной — от времени  , которая совпадает с правой частью равенства (33).

Однако обратимся к функции (34), построенной в процессе вычислений на этапе 2.

Определение 11.

Функция, определяемая правой частью (34), называется производной от функции  вдоль движений механической системы и обозначается  .

В отличие от функции (33), функция (34) зависит от шести переменных  и . Из ее построения следует, что подстановкой в нее вместо любого фиксированного движения материальной точки, заданного в криволинейных координатах, и подстановкой в нее вместо — обобщенных скоростей на данном фиксированном движении, будет определена скорость изменения функции  вдоль этого движения. Иначе говоря, зная функцию (34), можно определить скорость изменения функции  на любом заданном движении, а не только на движении (32). Поэтому функция (34) играет в дальнейшем важную роль.

Отметим, что функция, стоящая в правой части равенства (34), получена на основе действий, описанных в первых двух этапах вычисления производной по времени  от функции  . В таких случаях говорят, что «она получена дифференцированием функции  вдоль движений (на движениях) материальной точки». Применительно к ее обозначению  , записанному в левой части (34), также говорят, что «в левой части равенства (34) дифференцирование функции  по времени  производится вдоль движений материальной точки». В указанных случаях результат дифференцирования, т.е. правая часть равенства (34), задающая явный вид построенной функции, как правило, не приводится.

Докажем теперь следующую лемму Лагранжа.

Лемма Лагранжа.

При всех и любых значениях переменных  ,  ,  выполняются равенства

а) = , ;

б) = , .

Здесь задается формулой (1), — формулой (31), а — правой частью равенства (34).

Доказательство.

Равенство а) легко проверяется, поскольку функция  линейно зависит от  . Равенство б) проверяется непосредственным вычислением левой и правой части. Вычисляя левую часть равенства б) в формулировке леммы Лагранжа, получим:

= . (35)

Последнее равенство в соотношении (35) записано на основе того, что функция  дважды непрерывно дифференцируема по переменным ,  ,  . А тогда смешанные производные от по и будут непрерывными и, следовательно, порядок дифференцирования при их вычислении можно переставлять. При такой перестановке значения смешанных производных будут совпадать:

= .

Сопоставляя (35) и (34), видим, что правая и левая части равенства б) совпадают. Лемма доказана.

Применим лемму Лагранжа к выводу формулы для вычисления ковариантных координат , , скорости . Поскольку

= , = , ,

то можем записать

= = .

Подставляя соотношение а) из леммы Лагранжа и учитывая, что задается формулой (31), а для нее справедливо очевидное равенство

= ,

где = = , окончательно находим

= , . (36)

Отметим здесь, что полученная формула (36) для  отличается по виду от (30). Однако легко видеть, что она совпадает с (30), если учесть в (36), что функция задается правой частью равенства (29). На практике часто бывает удобнее сначала построить функцию  , а затем для вычисления применить формулу (36) вместо непосредственного применения (30).

В заключение установим связь декартовых и криволинейных координат скорости. Легко видеть, что

= = = = = .

Отсюда круговой перестановкой координат и ортов получим выражения для и :

,

.

В матричной записи полученные выражения для , и примут вид:

= = ,

где — матрица перехода от аффинной системы к декартовой прямоугольной системе координат,

= .

В данном выражении элементы матрицы вычисляются в точке  (а не в точке  ).