7º. Союзная система координат и ее связь с основной.

Ковариантные координаты вектора.

Пусть — произвольный вектор; ,  ,  — базис основной системы координат; ,  — матрица метрических коэффициентов этой системы, ; ,  ,  — координаты вектора в основной системе. Как отмечено выше, они называются контравариантными координатами вектора . Введем следующее понятие.

Определение 8.

Ковариантными координатами вектора называются величины , определяемые по формуле:

, .

Геометрический смысл ковариантных координат вектора следующий:

• если вектора ,  , являются ортами, то — это ортогональные проекции вектора на координатные оси основной системы координат,

• если вектора ,  , не являются ортами, то — это ортогональные проекции вектора  на указанные оси, умноженные на  , где = .

Введем следующие три вектора ,  ,  :

( ), ( ), ( ) (15)

и изучим их свойства. В (15) буквой обозначена величина смешанного произведения векторов ,  ,  :

. (16)

Как показано в п.5º, в этих обозначениях будем иметь .

Свойство 1.

Справедлива формула

(17)

для всех .

Докажем утверждение для =1. При =1 в силу (16) имеем:

( , ) ( , ) ( , , ) .

При =2,3 можем записать

( , ) ( , , ) .

Данное равенство выполняется, поскольку в нем = либо = , а смешанные произведения и равны нулю. Для справедливость свойства 2 доказывается аналогично.

Свойство 2.

Векторы ,  ,  линейно независимы, и для смешанного произведения этих векторов справедлива формула

( , , ) . (18)

Для доказательства утверждения вычислим сначала векторное произведение векторов и :

= ( ) .

В данной записи воспользовались третьей формулой в соотношениях (15) и формулой двойного векторного произведения.

Согласно (17) имеем и . Поэтому окончательно находим

. (19)

Подставляя (19) в смешанное произведение векторов ,  ,  и учитывая (17) для , получим

.

Что и требовалось доказать.

Введем косоугольную аффинную систему координат с полюсом в точке  и базисными векторами, совпадающими с ,  ,  .

Эта система координат называется союзной по отношению к исходной, т.е. основной, системе координат с базисом ,  ,  и полюсом в точке  .

Матрицу метрических коэффициентов союзной системы будем обозначать , а элементы этой матрицы — , . Так что будем иметь:

, , = .

Пусть ,  ,  — координаты вектора в союзной системе координат, и ,  ,  — координаты этого вектора в основной системе координат, т.е. его контравариантные координаты.

Покажем, что координаты вектора в союзной системе совпадают с его ковариантными координатами, т.е. справедлива формула

= , . (20)

Действительно, по определению координат вектора в союзной системе можем записать

= .

Умножая это равенство скалярно на , слева (по определению ковариантных координат вектора ) будем иметь

,

где — -я ковариантная координата вектора .

Учитывая (17), справа получим

.

Таким образом, равенства (20) доказаны.

Установим связь между матрицами и . А именно, докажем справедливость соотношения

= . (21)

Действительно, для любого вектора можем записать

= = . (22)

Умножая (22) последовательно (для ) скалярно на , получим

= , .

Эта система в матричном представлении имеет вид:

. (23)

Умножая (22) последовательно (для ) скалярно на , находим

+ + = , .

Соответственно, в матричном представлении:

= .

Подставляя в левую часть соотношение (23), придем к системе

,

где — единичная матрица размерности . В силу произвольности вектора получаем

.

Отсюда следует справедливость соотношения (21).

Докажем следующее утверждение.

Если по заданной исходной основной системе координат построить союзную систему, а затем построенную союзную систему взять в качестве новой основной и построить союзную к ней систему, то эта последняя союзная система будет совпадать с исходной основной системой координат.

Коротко это утверждение формулируется так:

«Союзная система к союзной совпадает с основной».

Утверждение будет доказано, если покажем, что

= ( ) , = ( ) , = ( ) ,

где .

Докажем, например, справедливость первой формулы (остальные — доказываются аналогично).

Выше было установлено (см. (19)) . Кроме того, из (18) (свойство 2) имеем . Поэтому для можем записать

= ( ) = ,

что и требовалось доказать.

Из доказанных свойств, в частности, вытекает, что если основной базис является ортонормированным ортогональным базисом, то союзная система координат совпадает с основной. В этом случае ковариантные координаты вектора (величины ) совпадают с соответствующими контравариантными координатами (величинами ).

Примечание 1.

Поясним смысл терминов «ковариантные» и «контравариантные» координаты.

Выше доказали формулу (23):

,

где ,  , — координаты вектора в союзной системе, ,  , — координаты этого же вектора в основной системе, — матрица метрических коэффициентов основной системы.

Из (23) заключаем, что имеет второй смысл. Она является матрицей перехода от основной к союзной системе координат.

Заметим, что основное правило, по которому осуществляется расчет координат вектора в любой новой системе координат по координатам этого вектора, известным в некоторой фиксированной аффинной системе, является соотношение вида

, (24)

где — координаты вектора  в «новой системе» координат, ,  , — координаты вектора  в заданной (фиксированной, «старой») системе, — неособая матрица, называемая матрицей перехода от «старой» системы к «новой» системе координат.

Фиксируем неособую матрицу . Будем говорить, что координаты любого вектора согласованно изменяются по отношению к его координатам ,  , заданным в фиксированной основной системе координат, если они рассчитываются по формуле (24).

Определение 9.

Система координат, для которой является матрицей перехода от фиксированной основной системы, называется согласованной с основной системой через матрицу .

Из (23) следует, что союзная система является согласованной с основной через матрицу  метрических коэффициентов основной системы. Поэтому координаты векторов в этой (союзной) системе называются ковариантными (слово «ковариантные» в переводе с французского означает «согласованно изменяющиеся»). Они согласованно изменяются через матрицу .

Основные координаты вектора могут быть вычислены через согласованные координаты (координаты этого вектора в новой системе координат) при фиксированной матрице по формуле

, (25)

Очевидно, матрица является матрицей перехода от «новой» системы координат к «старой» (основной) системе.

В этом случае выражение (25) можем трактовать как обратный закон пересчета координат, а координаты  вектора  в основной («старой») системе могут рассматриваться как координаты «противоположно меняющиеся» при фиксированной матрице  по отношению к новым координатам.

Поэтому координаты вектора в основной системе (координаты  ) по отношению к союзной системе принято называть контравариантными координатами (при переводе с французского слово «контравариантные» означает «обратно изменяющиеся»).

Термин «контравариантные координаты» имеет и другой смысл. А именно, он означает, что эти координаты меняются (рассчитываются) по обратному закону относительно некоторой фиксированной системы координат. Если матрица  задана, то согласно определению 9 эти координаты согласованы с заданной фиксированной системой координат через обратную матрицу .

Применим это правило к основной и союзной системам координат.

Если считать, что координаты союзной системы фиксированы (заданы), а основной — пересчитываются по ним, то этот пересчет осуществляется с помощью обратной матрицы . А тогда согласно указанному выше правилу координаты основной системы следует называть «контравариантными», поскольку они согласованы с фиксированными (союзными) через обратную матрицу  .