4º. Коэффициенты Ламе. Основная система координат.

Контравариантные координаты.

Зафиксируем точку  с криволинейными координатами ,  ,  . Введем следующую аффинную систему координат.

Начало ее совпадает с точкой  . Первая координатная ось совпадает с касательной в точке  к первой координатной линии. Вторая координатная ось совпадает с касательной в точке  ко второй координатной линии. Третья координатная ось совпадает с касательной в точке  к третьей координатной линии (см. рис. 3).

На рисунке 3 координатная ось с номером  обозначена , . Координатная линия с номером обозначена . Координатная поверхность с номером  обозначена  . Координатные линии выделены жирным цветом.

Так как — дважды непрерывно дифференцируемая функция, то функция будет также дважды непрерывно дифференцируемой по  . Аналогичное утверждение справедливо для функции относительно  и для функции относительно  . Поэтому касательные к координатным линиям в точке существуют.

Рис. 3.

Направляющие векторы этих касательных будут коллинеарны, соответственно, векторам

, , .

Здесь выражение означает, что вектор вычислен в точке с координатами , , .

В силу условия (2) векторы ,  ,  в точке будут некомпланарны. Обозначим орты этих векторов ,  . Тогда

= , , (5)

где = = .

Очевидно, вектор указывает направление изменения положения точки относительно точки при возрастании координаты  .

Определение 3.

Величина называется коэффициентом Ламе, соответствующим криволинейной координате .

Тройка единичных векторов  , построенная по формуле (5) по криволинейным координатам  ,  ,  точки , является линейно независимой. Поэтому можно принять ее в качестве базиса аффинной системы координат с полюсом в точке  . Будем обозначать такую систему  .

Определение 4.

Аффинную систему координат с базисом будем называть основной системой координат, соответствующей криволинейным координатам ,  ,  , а координаты произвольной точки  в этой системе — контравариантными координатами точки .

Из определения 1 (криволинейных координат), формулы (5) и определения 4 (основной системы) следует, что основная система координат  существует в любой в точке  . Положение ее полюса  относительно точки отсчета  в абсолютном пространстве и базис однозначно определяются по формулам (1) и (5) при любых фиксированных значениях  ,  ,  криволинейных координат  ,  ,  из области  .

Обозначим = радиус-вектор точки  относительно точки  . Его связь с контравариантными координатами задается разложением по векторам  :

= .

Связь произвольных положений точки  относительно точек отсчета  и определяется соотношением

= + = + .

В нем и обозначают положения относительно точки отсчета  точек  и , соответственно, а = — положение точки  относительно точки отсчета  .

Пусть и — криволинейные координаты точек  и , соответственно. Тогда согласно (1) вектора и определяются равенствами = и = , и указанную связь можем переписать в следующей форме

= + . (6)

Равенство (6) определяет в неявном виде зависимость обобщенных координат  ,  ,  точки  от ее контравариантных координат и от криволинейных координат точки  , в которой построена соответствующая основная система  .

Из формулы (6) легко получить также связь декартовых координат  ,  ,  с контравариантными координатами ,  ,  . Действительно, в (6) базисные вектора основной системы вычисляются через криволинейные координаты ,  ,  точки  , соответственно, по формулам

= , = , .

Поэтому, проектируя (6) на оси ,  ,  , получим искомую связь:

= + + + = + ,

= + + + = + , (7)

= + + + = + ,

где = , = , = , , вычисляются в точке  , ,  ,  — декартовые координаты точки  , ,  ,  — декартовые координаты точки  .

В матричном виде соотношения (7) запишутся так:

= + , (8)

где = .

Матрица называется матрицей перехода от основной системы координат к декартовой прямоугольной системе .

Ее элементы вычисляются через криволинейные координаты ,  ,  точки  . Столбцы матрицы состоят из направляющих косинусов векторов  относительно осей системы  .

Из (8) находим обратную зависимость ,  ,  от ,  ,  :

= .

Матрица называется матрицей перехода от системы к основной системе  .

Установим теперь связь матрицы  метрических коэффициентов  , , основной системы координат с криволинейными координатами  ,  ,  . Поскольку = , то, подставляя (5), находим

= = , .

Очевидно, при , так как . Поэтому в общем случае основная система координат, построенная в любой точке  , является косоугольной.

Легко видеть, что через матрицу матрица может быть представлена произведением

= .

Отсюда следует, в частности, что , где обозначает смешанное произведение векторов  .