2º. Задание движения материальной точки в криволинейных координатах.
Определение 2.
Движением
материальной точки в криволинейных
координатах называем дважды непрерывно
дифференцируемые функции
, 
, 
,
задающие криволинейные координаты
точки
в каждый момент времени
,
где они определены.
Задать движение в криволинейных координатах — это значит:
задать зависимость положения материальной точки от ее криволинейных координат =
,задать закон изменения криволинейных координат материальной точки от времени = , = , = .
Если
известно движение
,
,
материальной точки в криволинейных
координатах
,
то векторное задание ее движения получим
подстановкой функций
,
,
в вектор-функцию
,
устанавливающую связь положения точки
с криволинейными координатами:
.
3º. Геометрические характеристики криволинейных координат.
Пусть соотношение (1)
задает связь криволинейных координат , , вектора с декартовыми , , .
Зафиксируем
одну из криволинейных
координат.
Например, положим в (1)
=
=
.
В полученном соотношении
=
(4)
координаты , будем рассматривать как переменные параметры.
Очевидно,
в пространстве 
уравнение (4) задает поверхность. Она
называется координатной
поверхностью, отвечающей координате
,
или первой
координатной поверхностью.
Обозначим ее
.
Аналогично определяются координатные поверхности, отвечающие координате и координате – вторая и третья координатные поверхности.
Обозначим
их
и
,
соответственно. Уравнения поверхностей
и
получаются из (1) фиксированием
одной из координат
=
или
=
,
соответственно.
Если зафиксируем в (1) значения двух криволинейных координат = = и = = , то будем иметь
=
.
Это соотношение задает в пространстве кривую, которая является пересечением координатных поверхностей и :
=
,
=
.
Такая
кривая называется первой
координатной линией.
Аналогично определяются вторая
и третья координатные линии.
Их уравнения имеют вид
и
,
соответственно. Вторая
координатная линия является
пересечением координатных поверхностей
и
:
и
,
а третья координатная линия — пересечением поверхностей и :
и
.
Координатные
линии, очевидно, пересекаются в точке 
,
обобщенные координаты которой имеют
значения
,
,
.
Здесь
,
,
— значения переменных
,
,
,
по которым строились первая, вторая и
третья координатные линии.
Вернемся к примеру 1. В цилиндрической системе координатные поверхности и координатные линии изображены на рис. 1.
Координатными поверхностями являются:
первая – =
– цилиндрическая поверхность (на
рисунке изображена часть этой поверхности,
ограниченная дугами
и
и отрезками
и
);вторая – =
– полуплоскость, ограниченная осью
и проходящая
через ось
и точку
(на рисунке –
это плоскость прямоугольника
);
третья – =
– плоскость, параллельная плоскости
и проходящая через точку
(на рисунке –
это плоскость сектора 
).
Координатные линии:
( )=( ) – первая (луч
с направляющим ортом
);( )=( ) - вторая (окружность радиуса с центром в точке
;
ее плоскость
ортогональна орту
;
– орт касательной в точке
);( )=( ) – третья (прямая
с направляющим ортом
=
).