3º. Естественный способ задания кругового движения точки .
В формуле (6) вектор-функция строится через угол , отсчитываемый от положительного направления оси в плоскости движения материальной точки. Возможны и другие способы построения этой функции. Например, будем задавать ее через длину дуги окружности.
Будем отсчитывать длину дуги окружности от точки (см. рис.6) пересечения окружности с осью . Положительное направление отсчета длины дуги считаем совпадающим с положительным направлением отсчета угла .
Тогда,
как известно из геометрии, длина
дуги
выражается через угол
соотношением
. (7)
Подставляя закон движения (2), получаем
=
. (8)
Формула (8) дает закон движения точки по окружности в естественной параметризации.
Используя соотношение (7), перейдем в (1) от параметра к длине дуги . Получим естественную параметризацию траектории движения точки в координатной форме
,
,
. (9)
В векторной форме она принимает вид
=
,
.
Соотношения (9) в совокупности с (8) и (2) дают естественный способ задания кругового движения.
4º. Скорость и ускорение точки в круговом движении.
Построим
явные зависимости ортов
и
репера Френе от радиуса
и длины дуги
на круговом движении. Согласно формулам
Френе, имеем
=
,
=
=
,
(10)
где — радиус кривизны. Здесь воспользовались известным соотношением = для окружности. Отсюда после подстановки (6),(7) в формулу для находим
=
=
=
.
(11)
Далее,
введя обозначение
=
и подставляя в него (6), получим зависимость
орта
от угла 
в следующем виде:
=-
+
.
А тогда, учитывая равенства (11) и (7), окончательно для орта будем иметь
=
.
(12)
Зависимость орта от и получим, подставив орт из (12) во вторую формулу Френе (10). После дифференцирования по выражение для вектора примет вид
=
=
.
(13)
Дадим теперь выражения для скорости и ускорения в круговом движении. Согласно выводам §2, скорость и ускорение будут вычисляться по формулам
=
=
,
=
+
,
где
=
=
— касательное ускорение,
=
=
— нормальное ускорение.
Введем
обозначения
=
,
=
=
.
Тогда выражения для векторов
,
,
,
и их модулей примут следующий вид:
=
,
=
=
;
=
,
=
=
;
(14)
=
,
=
=
,
,
.
Если введем векторы
=
,
=
=
=
,
=
=
=
=
,
(15)
то через них скорость и ускорение точки в круговом движении можем записать в следующей форме:
= , (16)
= + ( ). (17)
Соотношение (16) называется формулой Эйлера для кругового движения материальной точки.
Соотношение (17) называется формулой Ривальса для ускорения материальной точки в круговом движении.
Справедливость формул (16),(17) легко устанавливается, если подставить в их левые части соотношения (14) для и , а в правые — соотношения (15),(12),(13) и учесть очевидные равенства
, 
, 
,
которые выполняются на кругового движении.
Для векторов , , приняты следующие названия:
— вектор углового поворота точки в круговом движении;
— вектор мгновенной угловой скорости кругового движения точки;
— вектор мгновенного углового ускорения в круговом движении
точки.
Из (15) следует, что в любой момент времени вектора , и ортогональны плоскости движения материальной точки.