2º. Основные определения из дифференциальной геометрии.

2.1. Способы задания кривой.

Как показано в п.1º, в трехмерном пространстве  с системой отсчета  траектория представляет собой кривую линию. Поэтому задать траекторию — это значит задать кривую в трехмерном пространстве. Как известно из дифференциальной геометрии, кривая в пространстве  с системой координат  может быть задана одним из следующих способов: векторный, параметрический, явное задание кривой, неявное задание кривой.

1). Векторный способ.

Задается векторная функция ,  и полагается

= . (2)

Здесь — радиус-вектор точки на кривой, — параметр, принимающий все значения из промежутка .

Векторная функция называется параметризацией кривой.

Если сделаем замену

, ,

при которой промежуток изменения параметра однозначно отображается в промежуток изменения параметра , то подстановкой в (2) получим

= , , (3)

где = . Соотношение (3) задает геометрически ту же кривую, что и соотношение (2). В таком случае говорят, что данная кривая задается в параметризации .

2). Параметрический способ.

В декартовой прямоугольной системе координат  задаются координаты точки на кривой , , , .

3). Явное задание кривой.

В декартовой прямоугольной системе координат  оно имеет вид:

, — на плоскости  ;

,  , — в пространстве  с ДПСК  .

При явном задании кривой роль параметра играет одна из координат (в указанном здесь задании — это координата  ).

4). Неявное задание кривой.

Такое задание имеет вид:

– на плоскости  ;

, — в пространстве  с  ДПСК  .

2.2. Некоторые понятия из дифференциальной геометрии.

Пусть дана кривая . На этой кривой будем обозначать — некоторую фиксированную точку и — произвольную точку.

Определение 3.

Кривая называется регулярной степени кривой, если существует параметризация такая, что вектор-функция будет раз непрерывно дифференцируема, и в любой точке кривой. Здесь

= .

Если =1, то кривая называется гладкой.

Определение 4.

Точка кривой называется особой, если для любой параметризации  в точке  выполняется равенство .

Определение 5.

Предельное положение хорды (если оно существует), когда точка стремится к точке (по кривой), называется касательной прямой в точке к кривой .

Рис.3.

На рисунке 3 обозначены:

– заданная кривая;

– фиксированная точка на кривой ;

– переменная точка на кривой ;

– касательная прямая в точке ;

– точка отсчета в пространстве;

– положение точки относительно точки ;

– положение точки относительно точки ;

– плоскость, проходящая через касательную  и хорду  .

Определение 6.

Нормалью в точке к кривой называется любая прямая, перпендикулярная к касательной в точке .

Определение 7.

Плоскость, перпендикулярная к касательной в точке , называется нормальной плоскостью в точке (см. рис.4).

Пусть — касательная в точке к кривой . Проведем плоскость через касательную и хорду (см. рис.3).

Определение 8.

Предельное положение плоскости ( ) при —> (если оно существует) называется соприкасающейся плоскостью.

В дифференциальной геометрии доказано, что если можно указать параметризацию кривой такую, что существуют и в точке  , и при этом , то в точке существует соприкасающаяся плоскость, и нормаль к этой плоскости коллинеарна вектору

.

Здесь штрихом обозначена производная по , а — значение параметра, соответствующее точке .

Определение 9.

Главной нормалью в точке называется линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей. Иначе, главная нормаль — это нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости (см. рис.4).

— главная нормаль

н ормальная плоскость

соприкасающаяся

п лоскость

— касательная

— бинормаль спрямляющая плоскость

Рис.4.

Определение 10.

Бинормаль в точке — это прямая, перпендикулярная соприкасающейся плоскости в точке (см. рис.4).

Определение 11.

Спрямляющей плоскостью в точке называется плоскость, перпендикулярная главной нормали в точке (см. рис.4).

Очевидно, спрямляющая плоскость проходит через касательную прямую и бинормаль в точке .

Определение 12.

Естественным трехгранником в точке называется трехгранник, образованный нормальной, соприкасающейся и спрямляющей плоскостями точки (см. рис.4).

Определение 13.

Длиной дуги кривой называется предел, к которому стремится периметр ломаной, вписанной в дугу, когда количество звеньев стремится к бесконечности, а максимальная длина звена стремится к нулю.

Дифференциал дуги кривой связан с параметризацией кривой следующей зависимостью

= = . (4)

Здесь .

Формула для  справедлива в декартовой прямоугольной системе координат. В аффинной системе она имеет вид

= = = = .

Определение 14.

Параметризация называется естественной, если в качестве параметра при задании кривой выступает — длина дуги кривой, исчисляемая от некоторой фиксированной точки на этой кривой.

Справедливо утверждение: для регулярной кривой (т.е. кривой без особых точек) всегда имеет место неравенство для любого .

Рис.5.

Иначе говоря, регулярная кривая в естественной параметризации при любых имеет значения . Более того, из (4) следует, что .

Обозначим через и положения точек и на кривой  (см. рис.5). Проведем касательные и к ней в этих точках. Угол , образованный касательными, называется углом смежности.

Определение 15.

Если существует предел , то он называется кривизной кривой в точке  .

Очевидно, кривизна кривой всегда неотрицательна, т.е. .

В дифференциальной геометрии доказано, что если кривая задается в параметризации , то в любой неособой точке, где существуют и , кривизна кривой может быть вычислена по формуле .

Если кривая задается в естественной параметризации, то .

Определение 16.

Величина называется радиусом кривизны кривой в точке .

Здесь — кривизна кривой в точке .

Справедливы следующие формулы Френе, устанавливающие связь направляющих ортов касательной, главной нормали и бинормали с естественной параметризацией кривой:

= — орт, коллинеарный касательной в точке ;

= — орт, коллинеарный главной нормали в точке ,

или отсюда = = ;

= — орт, коллинеарный бинормали в точке .

Векторы ,  ,  являются взаимно ортогональными единичными векторами и образуют правую тройку.

Определение 17.

Тройка векторов ,  ,  с началом в точке называется репером Френе.

Определение 18.

Естественной системой координат называется декартовая прямоугольная система координат с полюсом в выбранной точке на кривой и базисом, совпадающим с репером Френе в этой точке.