2º. Координатный способ задания движения точки.

2.1. Описание координатного способа задания движения.

Зафиксируем в пространстве точку отсчета и систему отсчета. Если в качестве системы отсчета выбрана декартовая прямоугольная система координат, то, как отмечено во Введении, она будет обозначаться или , где ,  ,  — базис, а ,  ,  — координаты точек в ней.

Если в качестве системы отсчета принимается аффинная система координат, то будем обозначать ее или , где ,  ,  — базис, а — координаты точек. При выборе системы считается известной (задается) также матрица метрических коэффициентов , где = ,  .

Напомним определения из векторной алгебры.

Определение 1.

Координатами вектора в заданной системе отсчета называются коэффициенты в разложении вектора по базисным векторам.

Из определения следует, что если обозначить ,  ,  — координаты вектора в декартовой системе , а — координаты этого же вектора в аффинной системе , то можем записать

= , = .

Определение 2.

Координаты радиус-вектора точки относительно точки отсчета в заданной системе отсчета называются координатами этой точки в указанной системе отсчета.

Согласно определению 2 с учетом принятых обозначений координат точки в системах отсчета и можем записать

= , (10)

. (11)

Если задать в каждый момент времени координаты ,  ,  точки  в виде дважды непрерывно дифференцируемых функций ,  ,  , то будем иметь

, , . (12)

Тогда, подставляя (12) в (10), получим

= = . (13)

Соотношение (13) позволяет определить положение точки  в любой момент  из промежутка времени, где заданы правые части равенств (12). Причем, поскольку функции  ,  ,  дважды непрерывно дифференцируемы, то вектор-функция  , связанная с ними равенством (13), будет также дважды непрерывно дифференцируема. А это значит, что (12) задают движение материальной точки.

Аналогично, задавая в каждый момент времени аффинные координаты точки  в виде дважды непрерывно дифференцируемых функций , будем иметь

, , . (14)

Подставляя (14) в (11), получим, что положение точки  в любой момент времени может быть вычислено по формуле

, (15)

которая так же, как и (13), определяет движение точки  .

Способ задания движения материальной точки по формуле (12) или (14) называется координатным.

Для этого способа, в отличие от векторного, существенным является выбор системы отсчета (выбор системы координат), в которой дается описание движения.

2.2. Вычисление скорости и ускорения при координатном способе задания движения.

По определению скорости точки  имеем

, (16)

где — вектор-функция, задающая движение этой точки.

При координатном способе задания движения вектор-функция через координатные функции ,  ,  вычисляется по формуле (13) либо через координатные функции по формуле (15).

Поэтому из (13) и (15) будем иметь, соответственно,

= , .

Таким образом, подставляя в (16), получим следующие выражения для скорости :

• при задании движения в декартовых координатах ,  ,  это выражение примет вид

= ; (17)

• при задании движения в аффинных координатах , соответственно, будем иметь

. (18)

Обозначим ,  ,  — координаты вектора  в системе отсчета  , а — координаты вектора  в аффинной системе  . Тогда по определению координат вектора можем записать

= , .

Сопоставляя эти соотношения с (17),(18), видим, что в момент времени координаты скорости совпадают с производными от координат вектора в системе , если движение задается декартовыми координатами и с производными от координат вектора в системе , если движение задается аффинными координатами:

= , = , = ;

, , .

Геометрически координаты вектора скорости можем получить путем совмещения начала вектор-функции с точкой отсчета и проектирования конца вектора на соответствующие координатные оси.

Для вычисления ускорения точки действуем аналогично. Учитывая, что по определению ускорения точки имеем

= = ,

получим:

• при задании движения в декартовых координатах ,  ,  выполняются равенства

= = ;

• при задании движения в аффинных координатах эти равенства приобретают вид

.

Если обозначим ,  ,  — декартовые координаты вектора  , а — его аффинные координаты, то связь  ,  ,  со вторыми производными от заданных координатных функций ,  ,  , будет такова:

= , = , = ; .

Из полученных выражений для и легко выписываются формулы для вычисления модуля скорости и модуля ускорения, а также для направляющих косинусов этих векторов.

Для = и = будем иметь:

= = = ; = = = .

Для направляющих косинусов ,  ,  вектора скорости имеем:

, , .

Аналогично, для направляющих косинусов ,  ,  вектора ускорения  : , , .

В аффинной системе координат формула для вычисления модуля скорости может быть получена из следующих соотношений:

= = ,

где введены обозначения

— вектор-столбец, составленный из производных от

заданных координатных функций ,  ;

— матрица метрических коэффициентов аффинной системы

координат;

символ обозначает операцию транспонирования.

Аналогично, для = получим = = = .

Здесь — вектор-столбец, составленный из вторых производных от заданных координатных функций ,  .