25

Кинематика, глава 1. Кинематика точки 16.04.09, 17.01.2010, 10.03.10, 27.06.2010

Часть 1. Кинематика

Глава 1. Кинематика точки.

§1. Векторный и координатный способы задания движения точки.

Как отмечалось во введении, кинематика решает задачу построения способов задания и описания движений и способов вычисления их кинематических характеристик. Решение данной задачи не связывается с причинами, по которым возникают движения. А потому в кинематике не делается различий между материальной и геометрической точкой. При этом, как было отмечено в п.1º §4 Введения, под положением материальной точки относительно заданной точки отсчета в фиксированный момент времени понимается положение той геометрической точки в евклидовом пространстве, с которой материальная точка совпадает в указанный момент времени.

Движением материальной точки, согласно определению 3 из п.3º (§4 Введения), называется дважды непрерывно дифференцируемая вектор-функция  , значения которой в каждый момент времени соответствует положению материальной точки.

1º. Векторный способ задания движения точки.

1.1. Описание векторного способа задания движения.

Из определения 3 (п.3º §4 Введения) вытекает, что для того, чтобы задать движение материальной точки, необходимо:

1. выбрать точку отсчета (обозначим ее ),

2. задать вектор-функцию на том промежутке времени, где хотим знать о движении, причем вектор-функция должна быть дважды непрерывно дифференцируема по ,

3. задать положение точки в момент времени относительно точки отсчета равенством

= , (1)

где — радиус-вектор той геометрической точки абсолютного пространства, с которой в момент времени по своему положению совпадает материальная точка  .

Таким образом, на равенство (1) можем смотреть, как на способ задания движения материальной точки. Такой способ называется векторным заданием движения точки.

1.2. Вычисление скорости и ускорения при векторном задании

движения.

Из (1) согласно определениям скорости и ускорения вытекает, что скорость и ускорение точки при известном ее движении вычисляются по формулам

, . (2)

Заметим, что векторы и , задаваемые формулами (2), имеют своим началом геометрическую точку  , которая служит концом радиус-вектора  , устанавливающего положение материальной точки в момент времени .

Действительно, в соответствии с определением

.

Так как = — это положение материальной точки  в момент  , = — это положение материальной точки  в момент , то

= - = - = .

Вектор — это радиус-вектор материальной точки  , задающий ее положение в момент времени относительно ее же положения в момент  , ибо имеет своим началом точку , являющуюся положением материальной точки в момент времени .

При материальная точка будет изменять свое положение. Оно задается геометрическими точками . Геометрическая точка , в которой находится материальная точка  в момент времени  , не зависит от и поэтому при всех будет неизменной. Следовательно, предельный вектор будет совпадать с вектором , начало которого совпадает с геометрической точкой . Иначе говоря, вектор материальной точки  связан с концом радиус-вектора , т.е. с самой точкой  и ее положением в момент времени  .

Аналогичное заключение делаем относительно вектора .