5. Свободные затухающие колебания. Логарифмический декремент. Апериодический процесс.

С вободные затухающие колебания – колебания, амплитуды которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшаются. Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний является ее превращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах, а также омических потерь и излучения электромагнитной энергии в электрических колебательных системах.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы (напр. пружинный маятник, колебательный контур) задается в виде: , где s – колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, δ=const – коэффициент затухания, ω₀ – циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т.е. при δ=0 называется собственной частотой колебательной системы.

Решим данное уравнение:

, где u=u(t). После нахождения первой и второй производных от этого выражения и подстановки их в диффур получим: Решение же этого уравнения зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен: . Решение нашего диффура в случае малых затуханий (δ²<<ω₀²): где

- амплитуда затухающих колебаний, а А₀ – начальная амплитуда. Зависимость решения уравнения и зависимость амплитуды показаны на рисунке.

З атухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колебания не являются периодическими и, строго говоря, к ним неприменимо понятие периода или частоты. Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами колеблющейся величины. Тогда период затухающих колебаний равен:

Если А(t) и А(t+T) – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение называется декрементом затухания, а его логарифм - логарифмическим декрементом затухания; N_e – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания – постоянная для данной колебательной системы величина.

При увеличении коэффициента затухания δ период затухающих колебаний растет и при δ=ω₀ обращается в бесконечность, т.е. движение перестает быть периодическим. В данном случае колеблющаяся величина асимптотически приближается к нулю, когда t→∞. Процесс не будет колебательным. Он называется апериодическим.

6. Вынужденные колебания. Резонанс

Для получения незатухающих колебаний потери энергии колебаний на преодоление трения и сопротивления должны периодически компенсироваться, т.е., что колебательная система подвергается периодическому внешнему воздействию. Такие колебания называются вынужденными.

Уравнение движения:

ω – частота внешнего воздействия (вынужд. силы)

*) – Дифференциальное уравнение II порядка с правой частью.

- в установившемся режиме

**) – с частотой вынуждающей силы.

A, φ₀ – постоянные величины (они неизвестны). Найдем их. Они зависят не от н.у., а от m, r, k, ω, F₀.

**) → *)

- Амплитуда

- Фаза.

ω – растет; A↑

ω→∞; A→∞ Система не успевает реагировать на F_вын, колебаний нет. A(ω) имеет максимум.

Резонанс.

Анализ зависимости А=A(ω) амплитуды от частоты вынужд. силы показывает, что система по разному откликается на внешнее воздействие и при определенной частоте этот отклик наибольший и амплитуда максимальная. Такое явление называется резонансом. Частота, при которой он наступает, называется резонансной ω_р.

ω_р-?

δ – коэффициент затухания: - зависит от сил трения.

Т рение мало, δ мало. ω_р≤ω₀

А_р→∞ при δ→0

Резонансные кривые показаны на рисунке.