1. Гармонический осциллятор, его закон движения, скорость, ускорение, возвращающая сила, энергия.

Гармонический осциллятор – система, совершающая колебания, описываемые дифференциальным уравнением гармонических колебаний: . Решением этого уравнения является выражение: (*), где A – максимальное значение колеблющейся величины (амплитуда колебания), ω₀ – круговая (циклическая) частота, φ – начальная фаза колебания в момент времени t=0, (ω₀t + φ) – фаза колебания в момент времени t. Фаза колебания определяет значение колеблющейся величины в момент времени t. Так как косинус изменяется в пределах от +1 до -1, то s может принимать значения от +А до –А.

За период колебаний фаза колебания получает приращение 2π, т.е.: откуда:

Запишем первую и вторую производные по времени от гармонически колеблющейся величины s:

Из последнего выражения и следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний .

Пусть материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат х около положения равновесия, принятого за начало координат. Тогда зависимость координаты х от времени t задается уравнением, аналогичным уравнению (*), где s=x:

Скорость и ускорение – это первая и вторая соответственно производные от х:

Сила F = ma, действующая на колеблющуюся м.т. массой m вышенаписанных уравнений, равна:

где .

Кинетическая энергия м.т., совершающей прямолинейные гармонические колебания равна: или

Потенциальная энергия м.т., совершающей гармонические колебания под действием упругой силы F, равна или

Полная энергия Е: .

ВЫВОДЫ: 1. Колебания возникают при условии: а) положения равновесия б) возвращающая сила в) инертность, m. 2. где ψ - колеблющаяся величина (x, v, A, F).

Если уравнение движения имеет такой вид, то это гармонические колебания с .

Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, физический и математический маятники, колебательный контур.

2. Маятники пружинный, математический, физический.

1. Пружинный маятник – это груз массой m, подвешенный на абсолютно-упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы , где k – жесткость пружины. Уравнение движения маятника:

или

П ружинный маятник совершает гармонические колебания по закону: с циклической частотой и периодом

Потенциальная энергия пружинного маятника:

2 . Физический маятник – это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С.

Если маятник отклонен от положения равновесия на некоторый угол α, то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела: момент М возвращающей силы можно записать в виде: , где J – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса О, l – расстояние между ней и центром масс маятника, F_τ - возвращающая сила.

Запишем предыдущее уравнение в виде: или Принимая получим уравнение (гармонический осциллятор), решение которого:

Период физического маятника: , где -приведенная длина физического маятника.

3. Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из м.т. массой m,подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести.

М омент инерции математического маятника: где l –длина маятника.

Т.к. математический маятник можно представить, как частный случай физического маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке – центре масс, то, подставив формулу момента инерции в формулу периода физического маятника, получим выражение для периода малых колебаний математического маятника: