5.2.5. Анализ цепей синусоидального тока второго порядка (rlc цепи)

5.2.5.1. Последовательная цепь

Схема ЭЦ показана на рис.5.30. Согласно II закона Кирхгофа состоя­ние цепи описывается выражением

= + + = [R+ ]= ,

где Z – полное комплексное сопротивление цепи, модуль (полное сопро­тивление) и аргумент (фаза) которого равны соответственно:

, argZ=φ= . (5.11)

Графики зависимостей модуля и аргумента показаны на рис.5.32. На частоте

сопротивление цепи чисто резистивное и фазовый сдвиг между током в цепи и вход­ным напряжением от­сутствует. На других частотах, согласно векторной диаграмме рис. 5.31, фазовый сдвиг имеет место. На частотах ω< ω₀ пол­ное сопротивление последовательной цепи носит ёмкостный характер, а при ω> ω₀ - индук­тивный.

5.2.5.2. Параллельная цепь

Схема ЭЦ показана на рис.5.33. Согласно I закона Кирхгофа состояние цепи описывается выражением

= ,

где Y – полная комплексная проводимость. Перейдем к полному комплексному сопротивлению цепи: ,

модуль и аргумент которого равны соответственно:

, argZ=φ= - . (5.12)

Г рафики зависимостей модуля и аргумента показаны на рис.5.34. На частоте сопротивление цепи чисто резистивное и фазовый сдвиг между входным током и входным напряжением отсутствует. На других частотах, согласно векторной диаграмме рис. 5.35, фазовый сдвиг имеет место. На частотах ω< ω₀ полное сопротивление последовательной цепи носит индуктивный характер, а при ω> ω₀ - ёмкостный.

5.2.6. Мощность в цепи синусоидального тока в комплексной форме

Пусть на входе двухполюсника действует комплекс действующего значения напряжения и в нем протекает ток (комплекс действующего значения) . Умножим комплекс действующего значения напряжения на комплексно сопряженное значение тока:

(5.13)

В этом выражении величина определяется как активная мощность, рассеиваемая в резистивных элементах и измеряемая в [Вт], величина определяется как реактивная мощность, запасаемая и отдаваемая реактивными элементами и измеряемая в [вар – вольтампер реактивный]. Величина S определяется как полная мощность ЭЦ.

5.2.7. Резонансный режим работы реактивного двухполюсника

Используя механическую аналогию, явление резонанса можно опре­делить как резкое возрастание амплитуды (размаха) отклика тока или на­пряжения в ЭЦ при приближении частоты внешнего воздействия (тока или напряжения) к определенному значению.

В теории цепей, однако, применяется фазовый критерий резонанса. Под резонансом понимают такой режим работы ЭЦ, содержащей ем­костные и индуктивные элементы, при котором её полное комплекс­ное входное сопротивление принимает чисто резистивный характер и, следовательно, сдвиг фазы между током и напряжением на входе цепи равен нулю.

ЭЦ, в которых имеет место явление резонанса, называются резонанс­ными или колебательными.

5.2.7.1. Резонанс напряжений. Последовательный резонансный контур (псрк)

Схема контура показана на рис.5.36. Источник сигнала – ИИН с е_Г=Е_Гmsinωt.

По определению при резонансе аргумент полного комплексного сопротивления φ=0, тогда согласно выражению (5.11) . Частота, на которой выполняется условие φ=0, называется резонансной и определяется выражением

(5.14)

На частоте ω₀ величины реактивных сопротивлений равны и определяются как характеристическое сопротивление контура:

(5.15)

Как видно из изображения векторной диаграммы при резонансе напряжения на реактивных элементах равны между собой и противоположны по направлению, т.е. компенсируют друг друга. При этом величина напряжения на реактивном элементе может во много раз превышать напряжение на входе колебательного контура. Количественно это превышение определяется значением добротности контура (Q).

. (5.16)

Например, пусть величина характеристического сопротивления ρ= 100 Ом, а сопротивление потерь в контуре R = 1 Ом, тогда Q = 100.

Как следует из формулы (5.16), последовательный колебательный контур можно использовать в качестве усилителя напряжения с коэффици­ентом усиления Q.

При резонансе реактивный двухполюсник (ПСРК) эквивалентен рези­стору потерь R, а запасенная в нем энергия периодически обменивается межу емкостным и индуктивным элементами с частотой 2ω₀.

Частотные характеристики ПСРК.

Зависимость напряжения на элементах контура, тока в контуре, угла сдвига фаз между током и входным напряжением от частоты называются частотными или резонансными характеристиками контура

I. I_m = f(ω).

Используя формулу (5.11) можно записать:

. (5.17)

Выражению (5.17) соответствует график рис.5.38. Максимальное значение амплитуды тока достигается на резонансной частоте. Однако иная ситуация характерна для зависимо­стей напряжения от частоты на реактивных элементах контура.

II. U_mC = = f(ω), U_mL = f(ω)

В результате исследования на экстремум выражений:

и получается, что максимум амплитуды напряжения на емкости достигается на частоте , а максимум амплитуды напряжения на индуктивности на частоте . Соответствующие графики показаны на рис.5.39. Как видно из приведенных выражений при увеличении добротно­сти контура кривые сливаются (ω_0С→ ω₀, ω_0L→ ω₀).

Р абота контура в узкой полосе час­тот вблизи резонанса (полоса пропус­кания, избирательность ПСРК)

Используя выражение (5.17), и учитывая, что ток в контуре при резонансе запишем нормированную зависимость тока в виде:

, (5.18)

где ξ – обобщенная расстройка контура. Определим её с учетом того, что текущая частота ω близка к ω₀:

; . Таким образом, вблизи резонанса нормированную зависимость тока можно представить в виде:

. (5.19)

Полосой пропускания называется диапазон частот 2Δω=(ω_В - ω_Н), в пределах которого средняя мощность потребляемая контуром не менее по­ловины средней мощности потребляемой контуром при резонансе:

.

Извлекая корень из левой и правой частей равенства, получим соотноше­ние: , откуда следует, что на границе по­лосы пропускания ξ= =1, соответственно величина полосы пропускания (рис.5.40):

. (5.20)

Под избирательностью или се­лективностью контура понимают способность контура выделять коле­бания одной частоты или колебания нескольких частот из спектра частот сигнала, подведенного к контуру.

Влияние сопротивлений нагрузки и генератора на свойства ПСРК

Схема контура, работающего от реального источника напряжения и нагруженного на сопротивление R_Н, показана на рис.5.40 а. Очевидно, что эффективность работы контура с на­грузкой уменьшается, Чтобы доказать это утверждение пересчитаем па­раллельное сопротивление R_Н в последовательно включенное в контур со­противление, называемое вносимым R_Вн. Для этого представим парал­лельное соединение сопротивления емкости при резонансе - Х_СР и R_Н в последовательное соединение (рис.5.41 б) - Z = R_Вн =

=

= . Полученный результат свидетельс­твует о том, что емкость контура осталась без изменения, а сопротивление его потерь увеличилась на величину

. (5.21)

Аналогично сопротивление генератора также увеличивает потери в контуре и, следовательно, ПСРК необходимо запитывать от источника ЭДС с минимально возможным внутренним сопротивлением.