4.2. Уравнение Бернулли
Пусть по наклонной трубке тока (или реальной трубе) переменного сечения движется жидкость в направлении слева направо. Мысленно выделим область трубки, ограниченную сечениями и ,в которых скорости течения равны соответственно и (рис. 4.3).
Рисунок
4.3.
Определим
изменение полной энергии, происходящее
в этой области за малый промежуток
времени
. За это время масса жидкости, заключенная
между сечениями
и
втекает в рассматриваемую область, а
масса, заключенная между сечениями
и
,
вытекает из нее. Иных изменений в
рассматриваемой области не происходит. Поэтому величина изменения полной энергии равна разности полных энергий вытекающей и втекающей масс.
Учитывая,
что полная энергия идеальной несжимаемой
жидкости слагается из ее кинетической
и потенциальной
энергий,
получим
(2),
где индексы 1 и 2 относятся соответственно к сечениям и .
Вводя в формулу B) выражения кинетической и потенциальной энергий, напишем
(3)
где
— ускорение силы тяжести.
В соответствии с законом сохранения энергии, найденная величина изменения энергии должна равняться работе внешних сил (давления) по перемещению массы :
.
(4)
Определим
эту работу. Внешняя сила давления
совершает работу
по перемещению втекающей массы на пути
;
в то же время вытекающая масса совершает
работу
против внешней силы давления
на
пути
.
Поэтому
и
,
а искомая работа
Учитывая, что
и
,
где
и
давления на сечениях
и
,
получим
.
Но
где
-
объем рассматриваемых масс. Поэтому
(5)
Объединяя формулы (3), (4) и (5), получим после перегруппировки слагаемых
.
Поделив
обе части последнего равенства на
и учитывая, что
- плотность жидкости, получим
Поскольку сечения и выбраны произвольно, можно окончательно
написать
(6)
Это соотношение, выведенное в 1738 г. Д. Бернулли, называется уравнением Бернулли. Первое слагаемое левой части этого уравнения представляет собой удельную кинетическую энергию жидкости; второе — удельную потенциальную энергию жидкости в поле силы тяжести; третье — удельную энергию жидкости, обусловленную силами давления (удельная энергия — энергия, приходящаяся на единицу объема жидкости).
Единицей
измерения давления является паскаль
(Па). Паскаль
— давление, вызываемое силой 1 Н,
равномерно распределенной на поверхности
площадью 1 м2;
Следовательно, уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии удельной) и может быть сформулировано так: при установившемся движении идеальной несжимаемой жидкости сумма удельной энергии давления и кинетической и потенциальной удельных энергий остается постоянной на любом поперечном сечении потока.
Из
приведенного преобразования единиц
измерения давления в единицы измерения
удельной энергии следует, что все члены
левой части уравнения (6) можно еще
рассматривать как величины давления.
Величину
называют статическим давлением, величину
— динамическим давлением, величину
— гидравлическим давлением. Следовательно,
уравнению Бернулли можно дать еще такую
формулировку:
в установившемся потоке идеальной
несжимаемой жидкости полное давление,
слагающееся из динамического,
гидравлического и статического давлений,
постоянно на любом поперечном сечении
потока.
Для горизонтальной трубки тока (или реальной трубы) уравнение
Бернулли принимает вид
(7)
(так
как
).
В заключение остановимся на следующем важном положении.
Уравнения (1) и (6) применимы не только к жидкостям, но и к газам в случаях, когда сжимаемостью и вязкостью газа можно пренебрегать. Оказывается, что это можно делать при небольших скоростях движения газа, когда в газовом потоке обычно не возникает больших градиентов скорости, а следовательно, и больших сил вязкости.
Что касается сжимаемости газа, то, как показывают теория и опыт, ею можно пренебречь при скоростях движения газа, меньших скорости распространения звука в нем. Скорость звука в воздухе составляет около 340 м/с = 1224 км/ч. Поэтому воздух, движущийся со скоростью, не превышающей 150—200 м/с, допустимо считать идеальной несжимаемой жидкостью и применять к нему уравнение неразрывности и уравнение Бернулли.