26. Интеграл Бернулли (для линии тока)

Рассмотрим элементарную струйку идеальной жидкости при установившемся движении, в которой выделим два сечения 1-1 и 2-2. Площади живых сечений потока обозначим dω₁ и dω_2. Положение центров тяжести этих сечений относительно произвольно расположенной линии сравнения (нулевой линии) 0 - 0 характеризуется величинами z₁ и z₂. Давления и скорости жидкости в этих сечениях имеют значения P₁, P₂ и u_1, u₂ соответственно.

Будем считать, что движение струйки жидкости происходит только под действием силы давления (внутреннее трение в жидкости отсутствует), а давление обладает свойствами статического и действует по нормали внутрь рассматриваемого объёма.

За малый промежуток времени dt частицы жидкости из 1-1 переместятся в 1'-1' на расстояние, равное u₁dt, а частицы из 2-2 в 2' - 2' на расстояние u₂dt.

Согласно теореме кинетической энергии приращение энергии тела (в данном случае выделенного объёма жидкости) равно сумме работ всех действующих на него сил.

Работу в данном случае производят силы давления, действующие в рассматриваемых живых сечениях струйки 1-1 и 2-2, а также силы тяжести. Тогда работа сил давления в сечении 1-1 будет положительна, т.к. направление силы совпадает с направлением скорости струйки. Она будет равна произведению силы p₁dω₁ на путь u₁dt: .

Работа сил давления в сечении 2-2 будет отрицательной, т.к. направление силы противоположно направлению скорости. Её значение .

Полная работа, выполненная силами давления, примет вид: .

Работа сил тяжести равна изменению потенциальной энергии положения выделенного объёма жидкости при перемещении из сечения 1-1 в сечение 2-2. С учётом условия неразрывности потока и несжимаемости жидкости выделенные элементарные объёмы будут равны и, следовательно, будут равны их веса dG: .

При перетекании от сечения 1-1 в сечение 2-2 центр тяжести выделенного объёма переместится на разность высот (z₁ – z₂) и работа, произведённая силами тяжести, составит: .

Проанализируем теперь изменение кинетической энергии рассматриваемого объёма элементарной струйки жидкости.

Приращение кинетической энергии выделенного объёма за dt равно разности его кинетических энергий в сечениях 1-1 и 2-2. Это приращение составит .

Приравнивая приращение кинетической энергии сумме работ сил тяжести и сил давления, придём к виду: .

Разделив обе части на вес dG, т.е. приведя уравнение к единичному весу, получим .

После сокращения и преобразований придём к искомому виду

Если учесть, что сечения 1-1 и 2-2 выбраны произвольно, можно прийти к выводу, что сумма приведённых выше величин описывающих движение жидкости под действием сил давления и сил тяжести есть величина постоянная для элементарной струйки, т.е.

Таким образом, снова получено то же (ранее полученное интегрированием уравнений Эйлера) уравнение Бернулли для элементарной струйки невязкой жидкости при установившемся движении под действием сил тяжести.

27. Три формы записи уравнения Бернулли

– 1-ая форма уравнения Бернулли в напорах;

– 2-ая форма уравнения Бернулли в давлениях;

– 3-я форма уравнения Бернулли в квадратах скоростей.

С помощью уравнения Бернулли в форме напоров можно найти высотные отметки жидкостей, которые могут быть достигнуты в данной трубопроводной системе. Это уравнение широко используется при проектировании и гидравлических расчётах водопроводов.

Уравнение Бернулли в форме давлений получаем, если уравнение Бернулли в форме удельной энергии умножим на плотность ρ.