25. Непрерывность обратной функции. Теорема о существовании обратной функции у монотонной.

непрерывность обратной следует из критерия непрерывности функции.

Критерий: Для того чтобы монотонная функция f(x) определённая на отрезке [a;b] была непрерывна на этом отрезке, необходимо и достаточно чтобы множество значений функции заполняло целиком отрезок [f(a);f(b)] или [f(b);f(a)].

Теорема о существовании обратной функции у монотонной:

Если обратная функция строго монотонно возрастает на [a,b] и непрерывна на [a,b] тогда на [f(a),f(b)] ∃f^-1(y)=x которая тоже там непрерывна на [f(a),f(b)].

Док-во:существование f(x) следует из строгой монотонности этой функции

непрерывность обратной функции следует из критерия непрерывности функции ЧТД.

26. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.

функция f(x) определена на Х называется равномерно непрерывной на этом множестве если ∀ ε>0 ∃δ>0 ;∀ х’ :x’’∈ Х: |x’-x’’|<f⇒|f(x’)-f(x’’)|<ε

Равномерная непрерывная функция на множестве будет непрерывной, обратное не верно.

Теорема Кантора: ∀ непрерывная на отрезке [a,b] функция будет равномерно непрерывной на этом отрезке.

Док-во: от противного. ∀ ε>0 ∃δ>0 ;∀ х’ :x’’∈ Х: |x’-x’’|<f⇒|f(x’)-f(x’’)|≥ε

для∆=1/n ∃Un,Vn: |Un=Vn|<1/n : |f(Un)-f(Vn)|≥ε₀ (1)

ПотеоремеБольцано – Веерштрасса∃ {Un}: lim_k→∞Un_k=x₀∈[a,b] ⇒иlim_k→∞Vn_k=x₀

Таккакфункциянепрерывна, то⇒

lim_k→∞f(Un_k)= lim_k→∞f(Vn_k)=f(x₀)⇒lim_x→∞|f(Un_k)-f(Vn_k)|=0⇒противоречиес (1) ЧТД.

27. Дифференцирование функции. Производная функции. Определение, геометрический смысл, основные правила дифференцирования. Односторонние производные.

Дифференцирование функции это процесс нахождения её производной.

Опр: производная в т х₀ определяется как предел

геометрическим смыслом производной являютсякоэффициент К касательной и тангенс угла наклона

tgугла наклона касательной в точке х₀ к графику будет = производной функции в т х₀

Правила дифференцирования (Из табл производной типа (U/V)’ или (U*V)’)

Односторонние производные:

ИЛИ

28. Производные основных элементарных функций (вывод).

1. C’=0

2. x’=1

3. f(x)=e^x; f’(x)=e^x

4. f(x)=a^x; (a^X)’=a^xln a

5. f(x)=lnx; f(x)=1/x ; (lnx)’=1/(e’)’=1/e’=1/x ⇒ (lnx)’=1/x

6. (log_ax)’=1/(xlna) (log_ax)’=1/(a^y)=1/(a^y lna)=1/(xlna)

7. (x^m)’=mx^m-1; x>0; x^m=e^mlnx

8. (sinx)’= cosx

9. (cosx)’=-sinx; (cosx)’=(sin(x+п/2))’=cos (x+п/2)=-sinx

10)(tgx)’=1/cos²x; (ctgx)’=-1/cos²x

11) (arcsinx)’= ;

12) (arccosx)’=

13) (arctgx)’=1/(tgx)’=1/1/cos²x=1/1+tg²x=1/(1+x²)

14) (arcctgx)’=-1/(1+x²)

15) sh,ch (shx)’=(d/dx)*((e^x-e^-x)/2)=((e^x-e^-x)/2)=(поопр)chx