§2. Дифференциал ф-ции.

Опр. Пусть ф-ция f(x) задана в некотор. окр-ти точки х₀, если её приращение представлено в виде ,(1) где А – некотор. число, а α при

т.е. α явл. б.м.ф.

Число А не зависит от . Линейная ф-ция -мин. часть приращения ф-ции, наз. дифференциалом ф-ции f в т. х₀ и обозначается или dy. В рав-ве (1) второе слогаемое d - не явл. мин. ф-цией отности. переменной . След-но рав-во (1) можно переписать так : , где при .

Дифференциал, как и любая мин. ф-ция, определен для любого значения , т.е. , определена на мн-ве : по приращении Δу в (1) можно рассматривать только в области определения ф-ции, т.е. .

Если в (1) ,т.е. , то дифференцируемость ф-ции f в точке х₀ означает, что с точностью до б.м.ф. более высок. порядка малости, чем , прир. ф. Δ у явл. мин. ф-цией переменной Δ х, а это значит, что при .

Если же А=0, т.е. dy=0, то явл. б.м.ф. более высок. порядка малости, чем Δх, при .

Прпащение Δх для удобства обозначают dx и наз. для симметрии дифференциалом аргумента, т.е. переменной х, где х- независ. переменная.

Таким образом, получаем, что dy=Adx (2). Используя примеры §1 можно получить по определениюдифференциалы соответств. ф-ций. Пример:

х-фиксир., но произ. точка из обл. опред-я.

Если ф-ция f дифференцируема в кажд. точке некотор. интервала, то её дифференциал явл. ф-цией 2х переменных: точки х, в котор. диф. и dx/

Используя это утверждение для заданного интервала можно записать dy=A(x) Δx.

Выясним теперь связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием произ. в этой точке.

Теорема 1. Для того чтобы ф-ция f была диф. в некотор. точки х₀, необх. и дост., чтобы в этой точке ф-ция f имела производную и при этом выполнялось равенство: .

Д-во:

Необ. Пусть ф-ция f диф. в т. х₀. Покажем, что в ней производная. По определению дифференцир. ф-ции получаем (1) : . Разделим на Δх и перейдем к пределу: Покажем, что ф-ция f дифференцируема в т. х₀, т.е. справедливо соотношение (1). В силу леммы §12 это означает: , где при . Умножим на Δх и получим:

-число, не завис. от Δх, то это означает по опр-ю, что ф-ция f дифференц. в т. х₀. Ч.т.д.

Вывод: Таким обр., дифференцируесмостб ф-ции в т. х₀ и существование производной в ней явл. равносильными понятиями.

Из (3) и (2) следует, что и из (3) следует , что часто используют для обозначения производной ф-ции в точке.

Из доказанной теор. 1 , что коэф-т А в определении дифференциала ф-ции f определяется однозначно, а поэтому ф-ла (3) позволяет однозначно определять дифференциала функции в точке. Тогда по (3) из примеров §1 получаем:

Выясним теперь связь м.д дифференцируемостью ф. и неп-тью её в нектор. точке.

Теорема 4. Если ф-ция f, заданная в некотор. оер-ти т. х₀ : дифференцируема в т. х₀, то она непрерывна в этой точке.

Д-во:о усл-ю ф-ция f дифференцируема в т. х₀, то она по опр-ю дифференцир. получаем рав-во (1).

Перейдем к пределу при , тогда получим , а это значит по опр. 5 §22, что ф-ция f непр. в т. х₀. Ч.т.д.

Следствие: если ф-ция в некотор. точке имеет производную, то она непрерывна в этой точке. След-е следует из т.1 и т.2.

Следует заметить, что из существования беск. произвю ф-ции в точке не следует непрер. её в этой точке.

Из непр-ти ф-ции в точке не всегда следует дифференцируемость ф-ции в точке, т.е. обрат. теорема 2 не верна.

Пример: у=|х|. В х=0 – непрерывна, но не дифференцируема. (Самост.)

Если ф-ция f имеет производную в кажд. точке некотор. промежутка х, то говорят, что f имеет производную или, что она дифф. на заданном промежутке Х. При этом вводится обозначения: - класс дифференцируемых ф-ций, а тогда из т.2 следует, что Д[x] .