Электромагнитная индукция

Закон электромагнитной индукции. Правило Ленца. В 1831 году Фарадей сделал одно из самых великих открытий в физике: он обнаружил явление электромагнитной индукции: в замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока (т.е. потока вектора ), охватываемого этим контуром, возникает электрический ток, называемый индукционным.

Появление индукционного тока означает, что при изменении магнитного потока в контуре возникает эдс индукции Ɛ_i . Направление индукционного тока в контуре подчиняется следующему правилу Ленца: индукционный ток направлен так, чтобы противодействовать своим магнитным полем вызывающей его причине.

Математическая формулировка закона электромагнитной индукции Фарадея-Ленца:

Ɛ_i = . (97)

П ри изменении потока магнитной индукции через замкнутый контур в последнем возникает эдс индукции, пропорциональная скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром. Знак минус в (97) связан с правилом Ленца: если поток растет, то магнитное поле индукционного тока направлено так, чтобы суммарный поток уменьшался, а если поток уменьшается, то - чтобы увеличивался.

Закон электромагнитной индукции является одним из постулатов электродинамики. Однако можно понять природу этого явления из следующего примера, который ни в коем случае нельзя рассматривать как вывод самого закона. Пусть тонкий проводящий контур с подвижной перемычкой ab длины l помещен в магнитное поле, направленное перпендикулярно рис. 34, от нас. Начнем двигать перемычку (вместе со всеми находящимися в ней свободными электронами) вправо со скоростью . В результате на каждый электрон начнет действовать магнитная сила Лоренца , направленная вниз вдоль перемычки – потечет ток формально направленный вверх (за направление плотности тока принимается скорость направленного движения положительных зарядов, что эквивалентно движению электронов в противоположном направлении). В данном случае сила Лоренца играет роль сторонней силы электрического поля с напряженностью . По определению (37) циркуляция поля дает величину эдс индукции Ɛ_i, в данном случае

Ɛ_i = . (98)

Минус – из-за того, что при данном направлении вектора положительное направление обхода контура по часовой стрелке. Произведение есть приращение площади контура в единицу времени ( ), поэтому , где > 0 – приращение магнитного потока сквозь площадь контура. Таким образом, Ɛ_i = .

Явление самоиндукции. Индуктивность. Явление электромагнитной индукции возникает в замкнутом проводящем контуре независимо от того, чем вызвано изменение магнитного потока. В частности, изменение магнитного потока может быть вызвано изменением тока в этом же контуре. В этом случае явление называют самоиндукцией, а соответствующую величину Ɛ_s – эдс самоиндукции. Если в пространстве, где находится контур с током , нет ферромагнетиков, то в соответствии с законом Био-Саварра поле вектора , а следовательно, и полный магнитный поток Ф будут пропорциональны силе тока

, (99)

где L – коэффициент, называемый индуктивностью контура. Индуктивность L зависит от формы и размеров контура, а также от магнитных свойств окружающей среды. Если контур жесткий и вблизи нет ферромагнетиков, индуктивность является величиной постоянной.

Если в проводящем контуре изменяется ток, то по закону электромагнитной индукции в нем возникает эдс самоиндукции Ɛ_s = . Если индуктивность L постоянна для данного контура, второе слагаемое в скобках равно нулю, и тогда

Ɛ_s = , (100)

где минус обусловлен правилом Ленца: если основной ток в контуре возрастает, то индукционный направлен в противоположную сторону (рис.35 a). Если основной ток в контуре убывает, то индукционный направлен в ту же сторону (рис.35 b).

Индуктивность соленоида. При прохождении тока по длинному соленоиду, внутри которого находится магнетик с магнитной проницаемостью , в последнем возникает магнитное поле (60), равное . Пусть соленоид имеет площадь поперечного сечения S и полное число витков N. Тогда поток сквозь каждый виток Ф= ВS, а полный поток, сцепленный с соленоидом,

NФ=NВS = . Так как , где - число витков на единицу длины, - длина соленоида, то NФ= = ( - объем соленоида). Следовательно, индуктивность соленоида, согласно ее определению (99) равна .

Взаимная индукция. Пусть два неподвижных контура расположены близко друг к другу. Если в контуре 1 течет ток , он создает через контур 2 полный магнитный поток Ф₂, пропорциональный току

. (101)

Так же, если в контуре 2 течет ток , он создает через контур 1 полный магнитный поток Ф₁

. (102)

Коэффициенты и называют взаимной индуктивностью контуров. Расчет и опыт показывают, что коэффициенты взаимной индуктивности одинаковы при отсутствии ферромагнетиков

= . (103)

Это равенство принято называть теоремой взаимности. Наличие магнитной связи между контурами проявляется в том, что при всяком изменении тока в одном из них в другом возникает эдс индукции. Это явление называют взаимной индукцией. Согласно закону электромагнитной индукции эдс, возникающие в контурах 1 и 2, можно выразить так

Ɛ₁= ; Ɛ₂= . (104)

Трансформатор. Пусть две катушки с числами витков и намотаны на общий сердечник. Собственно это и есть трансформатор. Он служит для повышения или понижения напряжения. Поскольку магнитное поле в этом случае сосредоточено главным образом в сердечнике, то число линий вектора , а также и величина для обеих катушек будет одинаковым. Считая, что поток пронизывает витков первой катушки и - второй, запишем соответствующие эдс

Ɛ₁= ; Ɛ₂= . (105)

О тношение эдс равно . Если считать, что к первой обмотке приложена Ɛ₁ ~ , то изменяя число витков во второй катушке, во второй обмотке можно получить повышенное или пониженное напряжение .

Энергия магнитного поля. Замкнем цепь, содержащую индуктивность L и сопротивление R на источник с эдс ℇ_о. В контуре начнет возрастать ток, что приведет к появлению эдс самоиндукции Ɛ_s. По закону Ома ℇ_о + Ɛ_s,  ℇ_о = - Ɛ_s. Источник с эдс ℇ_о за время dt совершит работу ℇ_оIdt. Умножим выражение в рамке на Idt

ℇ_оIdt =RI²dt - Ɛ_sIdt .

Выражение RI²dt=δQ это джоулева теплота, а последнее слагаемое (- Ɛ_sIdt = IdФ), так как по закону электромагнитной индукции Ɛ_s=- . Из этого следует, что работа, которую совершает источник, больше, чем выделяющаяся теплота. Часть этой работы (IdФ) совершается против эдс самоиндукции и идет на увеличение энергии магнитного поля катушки индуктивности (соленоида). Так как , 

. (106)

Поскольку индуктивность соленоида , а индукция его магнитного поля , то энергию магнитного поля можно выразить как

= = . (107)

Мы учли, что (92), или, в данном случае однородного поля соленоида . Энергия единицы объема (т.е. плотность энергии магнитного поля, ) равна

= . (108)

Для неоднородного магнитного поля плотность энергии , кроме того, расчет показывает, что выражение (108) верно и в векторном виде:

. (109)