Магнитное поле в вакууме

В 1820 году Эрстед обнаружил, что магнитная стрелка устанавливается определенным образом по отношению к проводу, по которому идет ток. Это значит, что вокруг проводника с током существует магнитное поле, вызванное движением зарядов. Далее было установлено экспериментально, что магнитное поле действует на движущиеся заряды и не действует на покоящиеся.

Cила Лоренца. Опыт показывает, что сила, действующая на заряд q, зависит от его величины, положения и скорости. Эту силу разделяют на две составляющие – электрическую (не зависит от скорости заряда) и магнитную (она зависит от его скорости). Пусть магнитное поле описывается вектором магнитной индукции . Опыт показывает, что на заряд q, движущийся со скоростью , действует магнитная сила

= , (50)

по которой можно определить вектор . На покоящийся заряд в магнитном поле сила не действует. Сила перпендикулярна вектору скорости заряда , поэтому она работы не совершает. Если есть еще и электрическое поле, то результирующая сила (она называется силой Лоренца) равна

. (51)

Магнетизм как релятивистский эффект. Изложение этого вопроса выходит за рамки данного курса, однако некоторое представление о релятивистской природе магнетизма можно получить из следующих не строгих соображений.

Рис. 17

Представим покоящийся заряд q в поле длинной тонкой нити, заряженной с линейной плотностью 0 (рис.17, а).

Со стороны электрического поля нити на заряд действует сила отталкивания

. (52)

Пусть нить движется вправо со скоростью v (рис.17, б). С точки зрения покоящегося наблюдателя длина нити уменьшилась (была , а стала ), так как согласно специальной теории относительности длина движущихся тел уменьшается в направлении движения:

. (53)

Поскольку заряд – релятивистский инвариант, величина заряда нити при этом не изменилась:

,

где - линейная плотность заряда движущейся нити. Подставляя в последнее равенство из (53), получим

, (54)

откуда следует, что линейная плотность заряда увеличилась. Следовательно, должна увеличиться и сила:

,  (55)

. (56)

Умножим обе части последнего равенства на 1- ²/c² :

,

после чего выразим из последнего равенства F:

. (57)

С точки зрения движущегося вместе с нитью наблюдателя существует только кулоновское отталкивание между зарядом и нитью (первое слагаемое), второе слагаемое равно нулю. А с точки зрения покоящегося наблюдателя сила Кулона увеличилась по модулю, но появилась дополнительная сила притяжения, которая в ²/c² меньше кулоновской и как раз и представляет собой магнитную силу.

Разделив выражение (57) на q, получим аналогичное соотношение для напряженностей

. (58)

Из этого следует, что покоящийся наблюдатель воспринимает поле движущейся нити, как изменившееся на величину (второго слагаемого), которая связана со скоростью движения зарядов нити. Таким образом, движущиеся заряды изменяют поле. И поскольку причина этого изменения именно и только заряды движущиеся, данное изменение поля трактуется как появление магнитного поля. Данная трактовка экспериментально подтверждается также и тем, что поле движущихся зарядов действует на магнитную стрелку и вообще по своим проявлениям очень похоже на поле постоянного магнита.

Магнитное поле равномерно движущегося заряда. Опыт показывает, что точечный заряд q, движущийся со скоростью , создает поле с магнитной индукцией

, (59)

где магнитная постоянная =410^-7 Гн/м; - радиус-вектор, проведенный от заряда q к точке наблюдения. Для магнитных полей, также как и для электрических, справедлив принцип суперпозиции.

Закон Био-Саварра. Рассмотрим магнитное поле, создаваемое постоянными электрическими токами. Подставим в (59) вместо q малый заряд (тогда следует заменить на , из-за малости ):

. (60)

Так как , и , то после подстановки в (60), получим:

= ,

где ↑↑ , что всегда выполняется для тонкого провода. Мы получили закон Био-Саварра

. (61)

Учитывая, что (см. вывод формулы между 60 и 61), вектор равен

, или . (62)

Теорема Гаусса для вектора . Графически магнитное поле может быть представлено линиями вектора , касательная к которым в каждой точке совпадает с направлением вектора , а густота линий равна его модулю. Магнитное поле не имеет специальных магнитных источников, что и выражает теорема Гаусса для поля вектора : Поток вектора сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

. (63)

Эта теорема выражает тот факт, что линии вектора не имеют ни начала, ни конца. Поэтому число линий, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью S , всегда равно числу линий, входящих в этот объем. Отсюда, поток вектора сквозь незамкнутую поверхность S, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы этой поверхности.

Теорема о циркуляции вектора (для магнитного поля постоянных токов в вакууме). Циркуляция вектора поля по произвольному замкнутому контуру Г равна произведению _о на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром Г:

= _оI , (64)

г де . Каждый ток в сумме – величина алгебраическая: ток считается >0, если направление движения положительных зарядов в нем связано с направлением обхода контура правилом правого винта.

Так как правая часть выражения (64) не равна нулю, данное поле не потенциально. Подобные поля называют вихревыми, или соленоидальными. Теорема о циркуляции может быть применена для расчета поля вектора . Сравним расчет магнитного поля прямого тока при помощи закона Био-Саварра с расчетом, в котором используется теорема о циркуляции вектора .

Магнитное поле прямого тока. Рассмотрим бесконечный тонкий прямой проводник, по которому течет ток I (рис.18). В соответствии с (61) в произвольной точке А векторы от всех элементов тока имеют одинаковое направление – за плоскость рисунка. Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей (удобнее в качестве угла α взять не угол между dl и r, а дополнительный к нему, поэтому вместо синуса - косинус)

.

Из рисунка 18 видно, что и , 

.

Проинтегрируем это выражение в пределах изменения  от -/2 до +/2, 

= , 

. (65)

Решим эту же задачу при помощи теоремы о циркуляции. Причем в данном случае откажемся от предположения о тонком проводнике. Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечного прямого провода, имеющего круглое сечение радиуса а, перпендикулярно рисунку 19. Найдем индукцию поля снаружи и внутри провода. Из симметрии задачи следует, что силовые линии должны иметь вид перпендикулярных проводу окружностей с центром на оси провода. Причем модуль вектора должен быть одинаков для всех точек, расположенных на одинаковом расстоянии r от оси. Для контура Г₁ по теореме о циркуляции ,  при ( ), что по смыслу совпадает с (65) ; для контура Г₂: , так как внутрь этого контура попадает только часть тока, пропорциональная отношению сечений.  при ( ).

Закон Ампера. Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Действие этой силы передается проводнику, по которому движутся заряды. В результате магнитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Величину этой силы и определяет закон Ампера.

Пусть объемная плотность носителей тока в проводнике равна . В элементе объема dV проводника содержится заряд ρdV, который можно считать точечным вследствие его малости. Тогда элементарная магнитная сила Лоренца, действующая на этот заряд, равна , где - скорость упорядоченного движения зарядов. Плотность тока , поэтому . Если ток течет по тонкому проводу, то , 

. (66)

Это и есть закон Ампера, выражающий силу, действующую на элемент тонкого провода , по которому течет ток I.

Теперь можно дать определение основной электрической единицы в системе СИ, ампера [А]. Пусть по двум параллельным бесконечно длинным и тонким проводникам течет одинаковый ток I.

По закону Ампера на единицу длины каждого проводника будет действовать сила F=IB₁=IB₂, где магнитные индукции B₁=B₂ определяются формулой (65):

.

Таким образом, сила, действующая на единицу длины любого из проводов, однозначно связана с величиной тока. Силу легко измерить, например, с помощью весов. Отсюда следует определение основной электрической единицы в СИ – единицы силы тока. Ампер [A] – это сила постоянного тока, который, проходя по двум параллельным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенных на расстоянии 1 м друг от друга в вакууме, вызывает между ними силу взаимодействия, равную 2∙10^-7 Н на каждый метр длины. Единица заряда кулон [Кл] не является основной и определяется через ампер: кулон есть заряд, проходящий за 1 с через поперечное сечение однородного изотропного проводника, по которому течет ток 1 А.

Магнитное поле соленоида. Соленоид это провод, намотанный на цилиндрическую поверхность (на рис.20 соленоид изображен в сечении плоскостью, проходящей через его ось). Пусть по этому проводу течет ток I и на единицу длины соленоида приходится n витков. Если шаг витка мал, то каждый виток можно приблизительно считать окружностью. Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше поле снаружи, а при достаточно длинном соленоиде поле снаружи практически отсутствует. Поле внутри из соображений симметрии должно быть направлено вдоль оси соленоида и составлять с направлением тока в витках правовинтовую систему. Эти же соображения подсказывают форму контура – прямоугольник, расположенный, как показано на рисунке. Вклад от вертикальных участков контура равен нулю, так как векторы и перпендикулярны друг другу. Вклад от внешнего участка контура равен нулю, так как снаружи =0. Поэтому циркуляция по данному контуру определяется только его внутренним участком и равна . Так как контур охватывает ток ,  по теореме о циркуляции . Следовательно, индукция магнитного поля внутри соленоида равна

. (67)

Сила, действующая на контур с током. Результирующая сил Ампера, действующих на замкнутый контур с током в магнитном поле, определяется интегрированием выражения (66):

. (68)

Если магнитное поле однородно, то вектор можно вынести из-под интеграла и задача сводится к вычислению интеграла . Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку векторов и поэтому он равен нулю, значит и =0. Т.е. в однородном магнитном поле на замкнутый контур как целое сила не действует.

Магнитный момент контура с током. Рассмотрим плоский контур из тонкого провода достаточно малых размеров, по которому течет ток I. Такой контур называется элементарным. Магнитным моментом элементарного контура называется произведение

, (69)

где - ток, - вектор, равный площади контура по величине и совпадающий по направлению с положительной нормалью к контуру (рис.21).

Контур с током в однородном магнитном поле. Если замкнутый контур, по которому течет ток, поместить в однородное магнитное поле, то результирующий момент амперовых сил в общем случае не равен нулю. Действительно, поместим прямоугольную рамку из тонкого провода, по которому течет ток I, в однородное магнитное поле с индукцией (рис.22). На рис. 22(а) стороны b расположены перпенди-кулярно вектору , а стороны а – под произвольным углом. На каждую сторону рамки будет действовать своя сила Ампера: - на стороны а; - на стороны b, где векторы и имеют направление тока на своем участке. Поскольку две силы лежат в плоскости рамки, равны по модулю и направлены в противоположные стороны, они будут только растягивать (или сжимать) рамку. Пара сил не лежит в плоскости рамки, и поэтому создает вращательный момент. Его удобно вычислить, если изобразить рамку по-другому: так, чтобы стороны b были перпендикулярны плоскости листа (рис.22 б). Пара сил создает момент величиной , что с учетом (69) можно записать в виде векторного произведения

, (70)

где вектор перпендикулярен как вектору магнитного момента контура , так и вектору ; - угол между векторами (или ) и . Если вектор перпендикулярен вектору (плоскость рамки параллельна вектору ), то момент максимален, и рамка будет поворачиваться по полю до тех пор, пока эти векторы не станут параллельными. Когда ↑↑ , момент сил =0 и положение контура будет устойчивым. Если ↑↓ , момент сил тоже равен нулю, но положение контура будет неустойчивым.

Покажем, что выбор именно прямоугольного контура, да еще и определенным образом расположенного по отношению к магнитному полю, не нарушает общности полученного выше результата. Действительно, элемент контура произвольной формы можно разложить на две составляющие: параллельную и перпендикулярную вектору . На первую из них сила ампера действовать не будет (sin =0), а вторая будет вести себя как сторона b прямоугольного контура с током. Поэтому в однородном магнитном поле любой плоский контур с током будет поворачиваться, стремясь установиться своим магнитным моментом параллельно полю.

В неоднородном магнитном поле сила, действующая на контур, уже не будет равна нулю. В частности, сила, действующая на элементарный контур с током, равна (без вывода)

.

Поэтому элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле будет не только поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором ↑↑ ), но и втягиваться в область поля с большей магнитной индукцией .

Работа при перемещении контура с током. Покажем, что при перемещении элементарного контура с током в магнитном поле силы Ампера совершают работу

, (71)

где - приращение магнитного потока сквозь контур. Рассмотрим сначала частный случай: контур с подвижной перемычкой длины l находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости рисунка 23. Согласно (66) на перемычку действует сила Ампера . При перемещении вправо на эта сила совершает положительную работу

, (72)

где dS – приращение площади, ограниченной контуром. Магнитный поток считается Ф>0, если нормаль к площади контура образует с направлением тока в нем правовинтовую систему, как на рис.23. Полученное выражение справедливо при любом направлении вектора . Действительно, разложим этот вектор на три составляющие: . Составляющая параллельна току, поэтому соответствующая сила Ампера равна нулю; составляющая дает силу, перпендикулярную перемещению, поэтому работы она не совершает. Остается только , ее и следует подставить в (72) в случае произвольного направления вектора . Но в любом случае, и мы опять приходим к формуле (71). Перейдем теперь к рассмотрению любого контура при произвольном его перемещении в стационарном неоднородном магнитном поле. Разобьем мысленно этот контур на бесконечно малые элементы тока и рассмотрим их бесконечно малые перемещения, в пределах которых поле можно считать однородным. Сложив элементарные работы для всех элементов, мы вновь придем к (71). Чтобы получить полную работу при перемещении из положения 1 в положение 2 достаточно проинтегрировать:

. (73)

При постоянном токе , где и - магнитные потоки сквозь контур в конечном и начальном положениях контура.