Постоянный электрический ток

Электрический ток и вектор плотности тока. Ток в проводнике представляет собой направленное движение заряженных частиц. Сила тока (или просто ток) определяется как производная по времени от суммарного заряда Q(t), прошедшего через поперечное сечение проводника:

. (34)

Средней по сечению проводника плотностью тока называется отношение силы тока к площади сечения проводника . В общем случае плотность тока может быть разной в различных точках сечения. Величина вектора плотности тока численно равна заряду, протекающему в единицу времени через дифференциально малую площадку, перпендикулярную скорости направленного движения зарядов. За направление вектора плотности тока принимается направление средней скорости направленного движения зарядов. В соответствии с этими определениями, при концентрации n частиц в проводнике с зарядом е каждая, и их средней скорости направленного движения вектор плотности тока равен

. (35)

Выделим внутри проводника малую площадку dS (рис.14). Заряд, прошедший через нее за время dt, равен = , где α – угол между векторами и . Заряд , прошедший через все сечение проводника, равен интегралу , откуда ток, протекающий через все сечение проводника, равен

. (36)

Таким образом, сила тока является потоком вектора плотности тока. Единица силы тока называется ампер [I] = [A] и является основной электрической единицей в системе СИ, ее точное определение будет дано позднее.

Электродвижущая сила (эдс). Если проводник внести в электростатическое поле, то заряды будут двигаться до тех пор, пока их собственное поле не скомпенсирует поле внешнее, после чего практически мгновенно ток прекратится. Для поддержания тока к зарядам необходимо приложить силы не электростатической природы, называемые сторонними. Пусть на некотором участке цепи действуют сторонние силы с напряженностью и силы электростатического поля с напряженностью . Вычислим работу, необходимую для переноса заряда q из точки 1 в точку 2

= + .

Разделим обе части на q:

+ .

Величина U= называется напряжением и равна суммарной работе электростатических и сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда из 1 в 2. Первое слагаемое = - это введенная ранее разность потенциалов (см.19), а второе называется электродвижущей силой (эдс), которая численно равна работе поля сторонних сил, необходимой для переноса единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2

 = . (37)

Следовательно, U=( ) +. (38)

Если точки 1 и 2 совпадают ( ) – цепь замкнута, тогда эдс представляет собой циркуляцию вектора напряженности поля сторонних сил. Если на участке не действуют сторонние силы (такой участок называется однородным, эдс=0), то U = ,  для однородного участка цепи напряжение совпадает с разностью потенциалов.

Закон Ома в дифференциальной форме описывает связь между векторами и . Пусть электрон движется в поле с напряженностью . По второму закону Ньютона, он приобретает ускорение , а его скорость возрастает по закону , где - скорость электрона в отсутствии внешнего поля. При каждом столкновении происходит передача кинетической энергии электрона кристаллической решетке, и скорость падает почти до нуля. Усредним выражение для скорости в пределах среднего времени между столкновениями 

.

Среднее значение скорости вследствие хаотичности скорости в отсутствие поля. Поэтому . Учитывая определение (35), вектор плотности тока . Произведение констант, стоящих перед , также является некоторой константой , 

. (39)

Этот результат называется законом Ома в дифференциальной форме: плотность тока в каждой точке проводника пропорциональна напряженности поля в этой точке. Величина  называется проводимостью. Этот закон с высокой точностью выполняется только для металлов.

Часто закон Ома в дифференциальной форме записывают в виде

, (40)

где ρ – удельное сопротивление, которое возрастает с увеличением температуры t, ^oC по закону:

, (41)

где α – температурный коэффициент сопротивления; ρ_о ,  – табличные величины.

Закон Ома в интегральной форме. В простейшем случае для однородного участка цепи этот закон был установлен экспериментально

. (42)

Величина R (сопротивление проводника) зависит от его формы, температуры и материала

, (43)

г де l – длина, S – площадь поперечного сечения проводника. Единицей сопротивления является ом: [R]=[Ом]. Размерность удельного сопротивления [ρ]=[Омм].

Рассмотрим неоднородный участок цепи, т.е. содержащий эдс. Реальный источник эдс можно рассматривать как идеальный, к которому последовательно присоединено его внутреннее сопротивление r (рис.15). Тогда U=I(R+r)  (38), 

I(R+r)=( ) +. (44)

Это закон Ома в интегральной форме: Произведение силы тока в проводнике на сумму внешнего и внутреннего сопротивлений равно сумме разности потенциалов на концах проводника и действующей в проводнике эдс.

В замкнутой цепи точки 1 и 2 совпадают и =0, поэтому закон Ома принимает вид

. (45)

Когда цепь разомкнута, ток равен нулю, и тогда

| | =. (46)

Эдс источника равна разности потенциалов на его зажимах при разомкнутой цепи.

Закон Джоуля-Ленца в интегральной форме. Работа А при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2 равна

.

Мощность

, 

. (47)

Если на участке нет эдс, и вся работа тока идет на нагревание, то за время dt в проводнике выделится количество теплоты . Поскольку ,  . Интегрируя, получим закон Джоуля-Ленца в интегральной форме:

. (48)

Если ток – постоянный, то выражение упрощается: .

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. Вычислим энергию, которая выделяется в малом объеме проводника dV (рис.16), предполагая для простоты, что векторы плотности тока и напряженности поля сонаправлены, а вектор выбран в том же направлении: ↑↑ ↑↑ . При перемещении заряда dq на поле совершает работу . Подставим и напряженность из закона Ома , тогда эта работа равна

.

Считая, что вся эта работа идет на нагревание ( ), получим

,

где . Тогда теплота, выделяющаяся в единице объема проводника в единицу времени, равна

. (49)

Величина слева называется удельной тепловой мощностью тока, а сам Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме утверждает: удельная тепловая мощность тока пропорциональна квадрату плотности тока в той же точке.