43. Почленное интегрирование равномерно сходящихся рядов фкп.

_n(z) равномерно сходится к f(z); f_n(z) аналитична в D D

(z)dz= _n(z)

U_n(x)-непрерывен на [a,b] ; _n(x) равномерно сходится к S(x) на [a,b];

_n(x)dx= (x)dx; □ U_n(x)-непрерывен на [a,b]

А S(x) – непрерывна на [a,b]; (по теореме о непрерывности суммы)

1)U_n(x), S(x)- непрерывны; S₁ , S₂ ;

2) n> ; x [a,b]: |S(x)-S_n(x)|<

Полученный ряд имеет _n конечную сумму _n= _n(x)dx

| (x)dx- _n|=| (x)dx- _n(x)dx|=| (x)dx - _n(x)dx|=| (x)- S_n(x)dx |<= |S(x)-S_n(x)|dx< (b-a) ■

44. 1-я теорема Вейерштрасса.

Пусть ф-ии -аналит-ие в обл. ,а ряд сход.равномерно в замкн. подобласти обл-ти к ф-ии . Тогда: 1) -анал.ф-я в обл. . 2) . 3) Ряд сход. равномерно в замкн. подобласти обл-ти . □1) Рассм. внутр. ,построим односвяз.подобл. обл-ти ,содержащую внутри. -непрерывная ф-ия в обл-ти . Рассм. от по произв. контуру целиком.Т.к. в силу аналитичности : . Выполнены все усл-я т.Морера. -ф-ия аналит-ая в точки .Т.к. произвольная , -аналитическая в ■ □2) Фиксируем и выберем замкн.контур целиком и содержащим внутри. Миним. расстояние от до обозначим . Рассм. ряд . Т.к. ряд сход.равном. на в силу условий теоремы. Проинт.его почленно по и используя инт-л Коши,имеем: . Т.к. - обл-ти ,то доказано.■ □3) Рассм. подобл-ть обл-ти и постр.замкн.контур содержащий внутри, причём . Для имеем: .Причём -остаток ряда . В силу сходимости ,для можно указать такое , что на при будет равномерная оценка ,где -длина контура .Тогда , что и доказывает.■ Эти доказательства для односвязной обл. .Для многосв.рассматривается аналогично.

45. 2-я теорема Вейерштрасса.

Пусть ф-ии -аналит-ие в обл. ,непрерывные в и ряд

сход.равномерно на границе этой обл-ти.Тогда ряд равном.сход. и в . □Разность частичных сумм данного ряда, ф-я ,как конечная сумма аналит-их ф-ий, явл.аналитической в и непрер.в .Из равном.сход. ,при для натурального и всех одновременно. По теор.о максимуме аналит-ой ф-ии при для натурального и для всех . Выполнен кр.Коши, что и доказывает теорему.■

46. Теорема Абеля.

Если степенной ряд сход. в некот. ,то он абсолютно сходится в ,удовлетворяющую причём в радиуса , ряд сходится равномерно.□Обозначим . Т.к. должен сходится, то при его члены . Тогда (*) . По условию сходится. Из (*) сходимость рассматриваемого ряда. Чтобы доказать равномерную сход-ть в круге достаточно, по приз. Вайерштр., построить сходящийся числовой ряд, мажорирующий данный ряд в рассматриваемой области. Такой ряд – это , тоже представляюет сумму бескон.геом. прогрессии со знаменателем ■

47.Круг и радиус сходимости степенного ряда.

ряд сходится(круг сходимости степенного ряда, R-радиус сходимости), расходится.

Если не -формула Коши-Адамара.

Степенной ряд (1) внутри своего круга сходимости сходится к своей сумме f(z), которая является аналитической.

Внутри круга сходимости степенной ряд можно почленно интегрировать по любой кривой, целиком лежащей в круге сходимости и почленно дифференцировать любое количество раз, при этом вновь полученные степенные ряды будут иметь тот же радиус сходимости.

Пр. 1) z R= , .