37.Теорема Морера.

Пусть -непрерывная в односв.области и от замкнутому контуру, целиком ,равен 0. Тогда -аналитическая в обл-ти . □При условиях теоремы ,где -проихвольные области , а берётся по пути, соединяющему эти в обл-ти ,является аналитической в этой обл-ти ф-ей, причём . Но, как было только что установлено, производная аналитической ф-ии также является анал.ф-ей, т.е. нерерывная производная ф-ии , а именно ф-ия ,что и доказывает теорему.■Эта теорема в определённом смысле явл. обратной по отношении к т.Коши. Её легко обобщить на многосвязные области.

38.Принцип максимума модуля.

Пусть -анал-ая в обл. и непрерыв. в замкн. обл. .Тогда или или максимальные знач-я достигаются только на границе области. □ по условию непрерывная в замкн.области.Она достигает своего макс.значения в какой-то данной обл-ти.Т.е. , (*). Пусть -внутр.точка обл-ти . Построим в круг радиуса с центром в .Пишем ф-лу среднего для и учтя (*): (**). Т.к. непрерывна на контуре интегрирования и из (*) при (***). По (*) не может быть . Если предположим, что в какой-то интегрирования модуль то из непрерыв. и в некой , т.е. можно указать отрезок инт-ия , на котором Тогда ,что противоречит (**).Значит (***) имеет место.■

39.Теорема Лиувилля.

Пусть на всей компл.пл-ти ф-ия аналитическая, а равномерно ограничен. Тогда тождественно = постоянной. □Пишем в : ,интегрирование будем вести по окружности . Из условия такая ,что независимо от . Поэтому . Т.к. можно выбрать сколь угодно большим, а не зависит от . Т.к. выбираем на всей компл.пл-ти. . ■

40.Основная теорема алгебры

Полином -ой степени имеет на компл.пл-ти ровно нулей (с учётом их кратности). □Представим полином в виде , где , . Составим . При заданных значениях всегда найдётся такое знач. , что для всех знач. имеет место: . По теор.Руше , что полное число нулей ф-ии в равно числу нулей в этом круге ф-ии . Но на всей компл.пл-ти имеет ! -кратный нуль - .Отсюда в силу произвольности и следует утверждение теоремы.■

41.Равномерная сходимость рядов фкп.

Кр.Коши: Ряд (*) равном.сход.в обл. если

при натурального.□(Необх.) Из равном. сход. (*) при , для натур. (Дост.)Из (**)по кр.Коши для числ.посл-ти с компл.числами , что при -сходится.Значит, при выполнении (**) ряд (*) сход. в к . НО в силу (**): при во всех точках обл-ти одновременно.■

42.Непрерывность суммы равномерно сходящихся рядов фкп.

Если ф-ии непрерывны в обл. , а ряд сход.в ней равномерно к , то непрер. в обл-ти . □Рассм. , где принадлежат обл. .Т.к. равномерная сходимость ряда ,для можно указать такое , что имеем: для ,что .Т.к. непрерна,то в для заданного и выбранного можно указать такое , что при . Из всего этого для можно указать при .■