28. Конформное отображение дробно-линейной функцией:

а) верхней полуплоскости на единичный круг

б) единичного круга на единичный круг.

a) Imz>0 на |w|<1 имеет вид W=(z-z₀/z- ₀)eⁱ (1)

где - действительно число. □Пусть дробно-линейная функция w=w(z)

Отображает полуплоскость на круг так, что w(z₀)=0 (Imz₀>0) Тогда в силу сохранения симметрии w( ₀)= и w=A(z-z₀/z- ₀), (так как всякое дробно линейное отобр, переводящее точку z₁ в 0 а z₂ в равно w=A(z-z₁/z-z₂) )

покажем что |A|=1. Так как точки действительной оси переходят в точки единичной окружности, то есть |w|<1 при действительных z=x то

1=|A(z-z₀/z- ₀)|= |A| (так как z-z₀=z- ₀) Следовательно A=eⁱ ■ Всякое комфорное отображение имеет именно вид (1) – так как по теореме Римана существует единственное такое отображение, удовлетворяющее условиям.б) |z|<1 на круг |w|<1 имеет видw=(z-z₀/1-z ₀)eⁱ (1)

где - действительно число. □Пусть дробно-линейная функция w=w(z) отображает круг |z|<1 на круг |w|<1 так, что w(z₀)=0 Тогда в силу сохранения симметрии w(1/ ₀)= и имеем w=A(z-z₀/1-z ₀) (так как всякое дробно линейное отобр, переводящее точку z₁ в 0 а z₂ в равно w=A(z-z₁/z-z₂) ) . Покажем что |A|=1. Так как точки единичной окр переходят в точки ед окр, то 1=|A(eⁱ -z₀/1-eⁱ ₀)|=|A| (так как | eⁱ -z₀|=|e^-i - ₀|)Следовательно A=eⁱ ■

29. Конформные отображения элементарными функциями (z2,zn, √z, n√ z).

a) w=z² = R²eⁱ² . Однолистная в области, когда в области нет точек связанных равенством z₁=-z₂ (нет ни одно пары точек, симметричных относительно z=0)

Образы лучей argz= и дуг окружностей |z|= . Линии argz=const и |z|=const образуют координатную сетку на плоскости z. (полярные координаты)

Образы прямых Rez=с и Imz=с Взаимо однозначно переводит Rez=с в параболу v²=2p(p/2-u) а прямую Imz=с в параболу v²=2p(u+p/2) здесь p=2c²; w=u+iv;

б) w= Обратная к функции w=z² : аналитическая плоскости z с выколотыми z=0, ,

а в плоскости с разрезом, соединяющим 0 и , распадается на две регулярные ветви.

= e^{i( +2 k)/2}

в) w= =| | eⁱ⁽

30. Конформные отображения функциями е^z, Lnz, функцией Жуковского.

W=1/2(z+1/z) - функция регулярна в точках кроме 0 и причем (z)=1/2(1-1/z²) а в точках z=0 и z= полюсы первого порядка. Однолистна в след областях

1-|z|>1

2-|z|<1

3-ImZ>0

4-ImZ<0

W=e^z =e^x+di=|e^x|e^di w=e^ce^iy c=0 – единичная окружность c<0 – единичный круг, c>0 – внешнось

W=LnZ=ln|z|+iargz+2 ki ;

31.Интегральная теорема Коши для односвязной области.

Пусть f – функция аналитическая в некоторой области D и её производная непрерывна, тогда для любого замкнутого контура

0

32. Аналитичность интеграла с переменным верхним пределом.

Если определена и непрерывна в D и , то -- аналитична в D и в D

f(z) – непрерывная =>

33. Интегральная теорема Коши для многосвязной области.

Аналитическая функция в и f(z) непрерывная =>

Из данной области делаем односвязную с помощью разрезов, тогда , но

34. Интегральная формула Коши.

Функция дифференцируема по в области D с выколотой точкой z. Выберем так, чтобы круг вместе с его границей лежал внутри . Тогда

где , так как , то

в силу непрерывности f(z)

35.Теорема о бесконечной дифференцируемости интеграла типа Коши.

Интеграл Коши есть аналитическая функция в любой области не содержащей точек и имеет производную любого порядка

(по индукции)

Поскольку f(t) непрерывная на замкнутом множестве, то она на нём ограничена

Т.о. доказали

36.Теорема о -ой дифференцируемости аналитической функции.

Пусть аналитична в обл-ти и непрер. в замкн. обл-ти .Тогда во внутренних точках обл-ти производная порядка ф-ии , причём □Для доказательства достаточно повторить следующие суждения соответствующее число раз. С помощью интеграла Коши (*) . Рассм. в обл-ти некую замкнутую подобласть , расстояние всех которой от границы обл-ти некого «+» числа . - явл.аналитич-ой ф-ей в , причём -непрерыв.ф-ия своих аргументов. В силу общих св-в интегралов, зав.от параметра, в внут. -ах обл-ти (**). (**) явл. интегралом, завис.от пар-ра,и его подынт. ф-ия имеет те же св-ва, что подынт.ф-ия у (*). явл.аналитич-ой ф-ей в ,причём для её производной верно: .■