20.Основные элементарные фкп

1. линейная w=az+b – непрерывна на z

2. степенная w=zⁿ

3. дробнолинейная 0

4. w=e^z=e^x(cosy+isiny)

5. логорифмическая w=Lnz=ln|z|+iargz+2nki

6. тригонометрические

7) обратные тригонометрические cosiz=ch siniz=ish

21.Дифференцирование фкп. Условия Коши-Римана.

Пусть определена и одназн. в .Если ,то ф-я дифф-ма в . Т.е. . (*).Если ф-я диф-ма в ,то её приращ. представимо в виде (*). Пусть представимо так: (**), не зависит от . Тогда Чтобы была диф-ма в чтобы её приращ. в было в виде (*). Если -диф-мы в 1) 2) 3) 4) -диф-ма.в Если -диф. в ,то -непрерывна в . □по св-ву 1: непрер. ■ Если -диф. в -диф-мы в . Обратное не всегда верно.

Теорема Коши-Римана. Пусть -определена и однозн.в .Чтобы была диф-ма в были диф-мы в и выполнялись: в . □Необ.Пусть . а) . . б) . . (***). Дост. -диф-мы в и выполняется (***). при . Т.е. ■

22.Условия Коши-Римана в полярных кординатах.

. . -1-е усл. К.-Р. . -2-е усл. К.-Р.

23.Теорема о сопряженной гармонической функции.

Для ,гармонической в односвяз.обл. ,в ней же определена с точностью до сопр-я гарм.ф-ия .□ . в . ,т.е. гармоническая.■ Зам.Если область неодносв.,то могут быть определены неоднозначно. Вывод:Можно восстановить аналитич-ю ф-ию с точностью до ,зная её действ.или мнимую часть.

24.Геометрический смысл производной гармонической функции.

Пусть -ан.в . . . последнее-это угол поворота касательной,проведённой в к кривой при отображении.Возьмём ,проходящую через .Она отобр.в аналогично для них получим: . Угол по величине и по напрвл.сохраняется – консерватизм углов. -показывает во сколько раз малый элемент растягивается или сжим. при отобр-ии .Не зависит от направл. кривой,проходящей через -коэф-ент растяжения (сжатия) кривых. При этом круг малого радиуса на пл-ти отбраж.на мн-во точек ,мало чем отличающееся от круга малого радиуса . Вывод:Отображение аналитич. ф-ии при обладает св-ми консерватизма углов и постоянства растяжений.

25.Общие свойства конформных отображений.

Взаимноодн. отображ. конформное, если в обладает св-ми консерватизма углов и постоянства растяжений. Основная задача:найти ,конформно отображающую заранее заданную область на заданную область . Такие отобр-я осуществляют ф-ии однолистные, аналитические, с произв-й .(Чтобы отобр. было конф.<=>предыдущее предлож.)Отобр. бывают 1 и 2-го рода. 2-го рода меняют отсчёт.Осуществляются ф-ми, сопряжёнными с ф-ями, что делают отобр-я 1-го рода.

Принцип соответствия границ. Если конформно отображает ,то непрерывна на и взаимнооднозн.отображает границу нением ориентации кривых. Вопрос об отобр-ии решается с помощью 2-х отобр.: 1) 2) .

Теор.Римана: 1)Пусть -односв. обл. расширенной компл. области ,граница кот. сост. чем из 1 .Тогда . 2) Такое отобр. опред. однозначно, если задать:

Замеч.:1) Исключениями в т.Римана явл.все расшир. пл-ть и расшир. с выколотой . 2) уловие 2 можно записать: .