12.Признаки Вейерштрасса и Дирихле
1) Теорема (достаточное условие равномерной сходимости функциональных рядов (Вейерштрасса)):
Если
члены
функционального
ряда (2)
удовлетворяют в области
неравенствам
, и
сходящийся числовой ряд,
.
Тогда ФР (2)
,
при этом числовой ряд
называется мажорантой для ФР (2).
(Числовой
ряд сходится, значит, по критерию Коши
для числовых рядов
:
,
Одновременно с этим
,
т.е выполняется критерий Коши равномерной
сходимость для ФР.)
Пример:
,
x
так
как мажорантный ряд сходится, то ФР
сходится равномерно.
2)
Теорема (признак Дирихле РСФР): (2
)
Если выполняются условия:
1)
2)
–
при каждом фиксированном х монотонно
убывает
3)
...+
,
–
равномерно ограничена, т.е.
X,
тогда (2
)
сходится
равномерно.
13. Непрерывность суммы рсфр
Теорема
(Непрерывность суммы равномерно
сходящихся ФР):
Пусть
члены 
ФР
непрерывны на [a,b],
ряд равномерно сходится к S(x)
на [a,b].
Тогда сумма ряда S(x)
непрерывна на [a,b].
(
Докажем
[a,b]
S(x0),
т.е.
>0
>0:
.
Рассмотрим
(*). Так как:
а)
ФР
>0
,
[a,b]
(в том числе для
);
в)
=u1(x)+...+un(x)-
непрерывна на[a,b]
>0
>0:
[a,b]:
<
,
то в силу (*) при
выполняется
.
)
Замечание.
=
=
Замечание. Условия теоремы носят достаточный, но не обходимый характер (т.е. есть ряды составленные из непрерывных функций сходятся неравномерно, но имеют непрерывную сумму)
15. Почленное дифференцирование рсфр
Теорема
(о почленном дифференцирование РСФР):
Пусть
непрерывно
дифференцируемы на [a;b].
ФР
(1) 
сходится
на [a;b],
(2)
равномерно
сходится на [a;b].
Тогда
(Обозначим
P
=
.
Из теоремы 3 следует: 
=
;
=
=
-
= S(x)-S(a). По
т
еореме
Барроу:
(
)´=P(x)=
S´(x) 
).
Замечание:
=
(
14. Почленное интегрирование рсфр
Теорема
1. ( почленное интегрирование РСФР):
Пусть члены
ФР
непрерывны на [a,b],
ряд равномерно сходится к S(x)
на [a,b].
,
-
непрерывны на[a;b].
Тогда ФР можно интегрировать почленно:
.
(
Так как
,
S(x)
(в силу теоремы 1) - непрерывны на [a;b],
то 
Докажем:
>0
>
= 
(т.к.
из равномерной сходимости ФР 
>0
=
:
x
[a;b],
n>
|S(x)-
|<
)
Замечание
1: В теореме
1 интегрирование можно проводить по
любому отрезку [a,x],
где x
[a;b]
Замечание
2: 
=
16.Предел последовательности комплексных чисел. Необходимое и достаточное условия.
Комплексное
число
является
пределом
Критерий
сходимости:
для того, чтобы
(
)
и
(Н)
:
(Д)
;
;
17.Кривые и области комплексной плоскости. Основные определения.
t
f(t)=x(t)+iy(t)
– комплекснозначная
функция от
действительной переменнойf(t) непрерывна на
если x(t)
и y(t)
непрерывны на
f’(t)=x’(t)+iy’(t) : f(t) дифференц. на если x(t) и y(t) дифференц. на
Теорема: если на задана непрерывная z=f(t) то говорят что задана непрерывная кривая a=f(a) и b=f(b) – концы. Кривая замкнута если a совпадает с b.
Z1=f(t1) Z2=f(t2) если t1 неравно t2 а Z1=Z2 и хотя бы одна из z не является ни a ни b то это точка самопересечения
Кривая не содержащая точек самопересечения называется простой (жардановой)
Если на кривой
то она называется гладкойЗамкнутая простая кусочно гладкая кривая называется контуром
Точка z0 является внутренней точкой множества D если
которая
целиком лежит в DМножество состоящее из внутренних точек называется открытым
Множество называется связнам если две его точки можно соединить непрерывной кривой лежащей в нём
Множество D – область если оно открытое и связное
Область ограниченная γ обозначается D γ и называется контуром
Область с присоединенной границей называется замкнутой
Точка z0 – изолированная если в которой нет точек кроме неё самой
Область называется односвязной если замкнутую непрерывную кривую можно стянуть в точку не выходя за пределы области
18-19.Предел и непрерывность Функции Комплексной Переменной
Пусть W() однозначно определена в окружности z0
если
:
1)
2)
Используя критерий сходимости комплексной последовательности (16)запишем
