4.Признак Коши и Даламбера
Теорема
(признак Коши в предельной форме): Если
существует
,
то при
ряд (1) сходится; при
расходится, при
этот признак не даёт возможности судить
о поведении ряда.
{
a)
начиная
с некоторого номера
<
1.
Ряд сходится.
б)
начиная с некоторого номера
>1
. Ряд расходится.
}
Теорема
(признак Даламбера): Пусть
Если, начиная с некоторого номера
,
для всех
,
то ряд (1) сходится. Если же
,
то ряд (1) расходится. { Пусть
.
Для
Т.к. ряд
- сходится, то, по признаку сравнения,
сходится и остаток ряда
,
а значит, сходится ряд
(1). Пусть для
.
Т.е.
и
,
не выполняется необходимое условие
сходимости ряда. Ряд расходится. }
Теорема
(признак Даламбера в предельной форме)
: Если
то при
ряд (1) сходится, при
расходится, при
этот признак не даёт возможности судить
о поведении ряда.
{
a)
начиная
с некоторого номера
Ряд сходится.
б)
начиная с некоторого номера
>1. Ряд расходится.
}
7. Признак Лейбница для знакочередующихся рядов
Ряд
называется знакочередующимся,
если он имеет вид:
(1).
Теорема
(Признак Лейбница): Если
последовательность
,
n=1,2,..
монотонно убывает, а
=0,
то ряд (1) сходится.
[Рассмотрим
=
...
=
...
=
(
=
+(
S2n+2
S2n
и ограничена, а значит, сходится, т.е.
,
S2n≤S
S2n+1
=S2n-1-a2n+a2n+2=
S2n-1-(a2n-a2n+1
)
S2n-1
S2n
=
S2n-1
a2n
,
S2n-1
S.
Итак,
ряд
(1)
сходится
]
Замечание.
Ряд (1) , удовлетворяющий условию теоремы Лейбница принято называть рядом Лейбница.
Ряд Лейбница будет
также сходится, если условие монотонности
и чередование знака будет выполняться,
начиная с n
= n0
, но при обязательном условии
=0.
Следствие.
S
S2n-1
S-
S2n+1-S2n
=
,
S2n-1-S
S2n-1-S
=
,
то
есть
.
Таким
образом, во всех случаях остаток ряда
Лейбница имеет знак своего первого
члена и меньше его по абсолютной величине.
6. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
Далее
будем рассматривать ряды
(1) , члены которых действительные числа
любого знака .
Ряд
(1) называется абсолютно
сходящимся,
если сходится ряд
(2).
Теорема:
Если ряд (1)
абсолютно сходится, то он сходится.
[Ряд (2)
сходится и, согласно критерию Каши ,
:
n>
и
.
Но
.
И критерий Коши выполняется для ряда
(1).]
Так
как
,
то для исследования ряда (1) на абсолютную
сходимость используют признаки сходимости
рядов с неотрицательными членами .
Ряд (1) называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд (2) –расходится.
8. Признак Дирихле-Абеля
Теорема (Признак
Дирихле-Абеля):
Пусть числовой ряд имеет вид
nbn.
Если {an}
монотонная и
n=0,а
последовательность частичных сумм
{Bn},
Bn=
n
– ограничена, то ряд сходится.
Следствие.
Признак Лейбница
следует из признака Дирихле: {an}
монотонна и
n=0,
a|
k-1|≤1.
Пример.
,
x≠2
k.
an=
- монотонно убывающая,
Bn=
=
; |Bn|≤
и ряд сходится по признаку Дирихле.
9. Перестановка членов сходящихся рядов.
Известно, что конечная сумма, обладая переместительным свойством, не меняется от перестановки местами слагаемых. Возникает вопрос: изменится ли сумма сходящегося ряда от перестановки членов ряда?
Пусть ряд (1)
n
сходится:
n=A.
Объединим члены ряда произвольным
образом в группы, не меняя при этом их
порядка:
(2)
nk=(a1+a2+…+an)+(an1+1+…+an2)+…,где{ni}–возрастающая
подпоследовательность последовательности
{n}.
Теорема (сочетательное свойство сходящегося ряда): Ряд (2) сходится и имеет ту же сумму, что и (1).
(Последовательность частичных сумм {An’} ряда (2)– подпоследовательность последовательности {An} ряда (1),а следовательно, сходится и имеет ту же сумму.)
Замечание. Обратное, вообще говоря, неверно. Но если все слагаемые внутри одних и тех же скобок в (2) одного знака, и ряд (2) – сходится, то скобки можно опустить, ряд (1) будет сходится.
Переместительное свойство абсолютно сходящегося ряда.
Теорема Дирихле-Коши: Если ряд (1) n –абсолютно сходится, тогда любой ряд вида (2), полученный из (1) произвольной перестановкой слагаемых также будет сходится абсолютно и иметь ту же cумму, что и ряд (1).
Теорема Римана:
Если ряд
(1) условно сходится, то
в том числе для A=∞,
можно так переставить члены ряда, что
сумма его станет равна А. (без
доказательства).
Вывод: абсолютно сходящиеся ряды обладают сочетательным и переместительным свойствами, а условно сходящиеся – только сочетательным свойством.
Условная сходимость числового ряда осуществляется за счет взаимного погашения положительных и отрицательных слагаемых и зависит от порядка слагаемых. Абсолютная сходимость определяется только скоростью убывания общего члена и поэтому не зависит от порядка слагаемых.
10. Критерий Коши РСФП.
Теорема
(Критерий Коши РСФП): Последовательность
f(x)
:
[Необходимость.
Дано:
fn
(x)
:
,
n+p>n>
=
Достаточность.
Дано:
,
,
(*). При
фиксированном 
числовая последовательность 
–фундаментальна, а следовательно,
сходится:
=
.
В
неравенстве (*) перейдем к пределу при
p
:
,
значит,
.]
11. Критерий Коши РСФР.
Теорема
(Критерий Коши РСФР): Для
того, чтобы ряд (2)
:
,
,
.
[
- критерий Коши доказан.
<
.]