55.Теорема Сохоцкого.

Если a -с.о.т., то для любого комплексного числа a, в том числе и для , найдётся {z

56. Вычисление вычетов аналитической функции.

1/2 i (t)dt=res_z=af(z)=C_-1

УОТ res=0

СОТ Ряд Лорана C_-1 – коэффициент при -1 степени

Простой полюс res_z=af(z)=lim_z=a(z-a)f(z)

Простой полюс f(z)= где

Тогда resf(z)=

Если полюс кратности m:

Res_z=af(z)=1/(m-1)! * lim_z=ad^m-1/dz^m-1(f(z)*(z-a)^m)

Resf(z)=res ^m= ^(m-1)(a)/(m-1)!

57. Основная теорема теории вычетов.

Пусть функция f(z) регулярна в односвязной области В за исключением конечного числа особых точек и пусть - замкнутая кривая лежащая в области D и содержащая внутри себя точки z₁,z₂…. Тогда

f(z)dz=2 i resf(z) (1)

Где кривая ориентирована положительно

□ Пусть _k – окружность достаточно малого радиуса с центром в точке z_k ориентированная против часовой стрелки. В силу следствия к теореме интегральной Коши (кривые оринтированы так что при обходе каждой из кривых область D остается слева) имеем

f(z)dz= f(z)dz откуда используя то что f(z)dz=2 i resf(z) (при Z=a)

Мы и получает исходную форумулу (1) ■

58. Вычисление определенных интегралов с помощью теории вычетов.

1)

R(sin ,cos )d замена z=eⁱ |z|=1

2)

f(z)dz=2 i resf(z) (Imz_k>0)

3)

eⁱ f(x)dx=2 i res(f(z)*eⁱ ) (Imz_k>0)

2 i res(f(z)*eⁱ ) = I

ReI= cos xf(x)dx ImI= sinx)dx

59. Теорема единственности.

F(z) и g(z) – аналитичны в некоторой области D и их значения совпадают на некоторой последовательности точек

F(z_n)=g(z_n) z_n D z_n a D при n f(z) g(z) во всей области D

□ Берем (z)=f(z)-g(z) (z_n)=f(z_n)-g(z_n)=0 z_n – нули функций по условию

z_n a при n и по теореме о нулях функции U(a) такая что (z)=0

для z₁ D z₁)=0 окружности t₁ бесконечно много нулей (z) t₁-предельная

точка множества U(t₁) такой что (z) 0 и так далее

z₁ U(t_k) z₁)=0 (z) 0 в области D ■

60.Аналитическое продолжение г-функции.

F(z),f(z) аналитична в D₁ D₁ D в D₁ функции неразличимы

F(z) аналитически продолжает f(z) на D

F(z)= e^-tt^z-1dt= e^-t= (-1)tⁿ/(n)! |t^z-1|=t^x-1 ограничена

F₁= e^-tt^z-1dt= (-1)ⁿt^n+z-1/(n)! dt= (-1)ⁿ/(n)!*t^n+z/n+z|₀¹= (-1)ⁿ/(n)!*1/(n+z)

Особые точки n=-z

Г(x)= e^-tt^x-1dt

Г(x+1)=xГ(x) Rez>0 Г(z+1)=zГ(z)

Г(z)=Г(z+1)/z Rez>-1 z 0

Г(z+2)=z²Г(z) Rez>-2 z 0,1