
- •2.Вычисление двойного нтеграла в декартовых координатах.
- •5. Вычисление объёмов тел площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.
- •7. Механические приложения двойного интеграла.
- •8. Определение и свойства тройного интеграла.
- •4)Если в области r,то ;
- •5)Если в области r и , то ;
- •6)Если на r и области r и s являются непересекающимися , то . Здесь означает объединение этих двух областей.
- •10.Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
- •11. Тройной интеграл в сферических координатах.
- •12.Механические приложения тройного интеграла.
- •13. Криволинейный интеграл I рода. Основные свойства кри-I.
- •14.Криволинейный интеграл II рода. Основные свойства кри-II.
- •15. Формула Остроградского – Грина.
- •16.Приложения кри(1-2)
- •17.Поверхностный интеграл 1-го рода
- •18.Поверхностный интеграл II рода.
- •19.Формула Стокса
- •20. Пови-2 по замкнутым поверхностям. Формула Астроградского.
- •21.Понятие скалярного поля. Поверхности и линии уровня.
- •22.Производная скалярного поля по направлению. Градиент.
- •23. Понятие векторного поля. Векторные линии векторного поля.
- •24.Циркуляция и ротор векторного поля.
- •25.Поток и дивергенция векторного поля.
- •26.Оператор Гамильтона и некоторые его применения.
- •27.Потенциальное,соленоидальное и гармоническое векторные поля.
- •28.Понятие числового ряда и его суммы. Свойства числовых рядов.
- •29.Необходимый признак сходимости ряда.
- •30.Интегральный признак Коши.
- •31.Признак сравнения рядов с положительными членами.
- •32.Признак Даламбера.
- •33.Радикальный признак Коши
- •34.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов.
- •35.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •36.Функциональные ряды. Свойства правильно сходящихся рядов.
- •37.Степенные ряды. Область сходимости.
- •38.Свойства степенных рядов.
- •39.Ряды Тейлора и Маклорена.
18.Поверхностный интеграл II рода.
Пусть задана гладкая
поверхность
.
Сторона поверхности
,
в каждой точки которой построен вектор
нормали
,
называется положительной,
а другая ее сторона (если она существует)
– отрицательной.
Если, в частности, поверхность
является замкнутой и ограничивает
некоторую область пространства
,
то положительной или внешней
стороной
поверхности
называется та ее сторона, нормальные
векторы которой направлены от области
,
а отрицательной или внутренней
– сторона, нормальные векторы которой
направлены в область
.
Поверхность, у
которой существует положительная
(внешняя) и отрицательная (внутренняя)
стороны, называется двухсторонней.
Примерами двухсторонних поверхностей
являются плоскость, поверхности второго
порядка, тор и др. Двухсторонняя
поверхность характеризуется следующим
свойством: если основание вектора
нормали
непрерывно перемещать по любому
замкнутому контуру
,
лежащему на такой поверхности, то при
возвращении в исходную точку направление
совпадает с исходным. Для односторонних
поверхностей указанное перемещение
нормали
при возвращении в исходную точку приводит
к «антинормали», т.е. к вектору
.
Классическим примером односторонней
поверхности является лист Мебиуса.
Поверхность с выбранной стороной называется ориентированной.
Пусть в прямоугольной
системе координат
задана некоторая область
.
И пусть в этой области задана поверхность
,
ограниченная некоторой пространственной
линией
.Относительно
поверхности
будем предполагать, что в каждой ее
точке
определяется положительное направление
нормали единичным вектором
,
направляющие косинусы которого являются
непрерывными функциями координат точек
поверхности.
Если поверхность
задана уравнением
,
то нормальный вектор
,
образующий с осью
острый угол
,
определяется следующим образом:
,
тогда координаты единичного вектора
нормали
:
.
Если поверхность
задана уравнением
,
то
,
где знак «+» берется в случае, когда угол острый, а знак «» в случае, когда тупой. Пусть в области пространства определена вектор-функция
,
где
функции непрерывные в области
.Разобьем
поверхность
на элементарные площадки
,
площадки которых
,
а диаметры – через
.
На каждой площадке
выберем произвольную точку
.
Найдем интегральную сумму
.
Предел интегральной
суммы, найденный при условии, что
,
,
называется поверхностным
интегралом второго рода
от вектор-функции
по поверхности
и обозначается
.
Таким образом, по определению
.
Надо отметить, что если поверхность такова, что в каждой ее точке существует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с перемещением точки по поверхности, и если вектор-функция непрерывна на этой поверхности, то этот предел существует.
Произведение
есть проекция площадки
на плоскость
,
то
.
Аналогично получаем:
,
.
Тогда формулу (3.3) можно записать в виде
.
(3.4)
Каждое слагаемое
интегральной суммы
может
быть истолковано механически следующим
образом: это произведение равно объему
цилиндра с основанием
и высотой
.
Если вектор
есть скорость