- •2.Вычисление двойного нтеграла в декартовых координатах.
- •5. Вычисление объёмов тел площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.
- •7. Механические приложения двойного интеграла.
- •8. Определение и свойства тройного интеграла.
- •4)Если в области r,то ;
- •5)Если в области r и , то ;
- •6)Если на r и области r и s являются непересекающимися , то . Здесь означает объединение этих двух областей.
- •10.Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
- •11. Тройной интеграл в сферических координатах.
- •12.Механические приложения тройного интеграла.
- •13. Криволинейный интеграл I рода. Основные свойства кри-I.
- •14.Криволинейный интеграл II рода. Основные свойства кри-II.
- •15. Формула Остроградского – Грина.
- •16.Приложения кри(1-2)
- •17.Поверхностный интеграл 1-го рода
- •18.Поверхностный интеграл II рода.
- •19.Формула Стокса
- •20. Пови-2 по замкнутым поверхностям. Формула Астроградского.
- •21.Понятие скалярного поля. Поверхности и линии уровня.
- •22.Производная скалярного поля по направлению. Градиент.
- •23. Понятие векторного поля. Векторные линии векторного поля.
- •24.Циркуляция и ротор векторного поля.
- •25.Поток и дивергенция векторного поля.
- •26.Оператор Гамильтона и некоторые его применения.
- •27.Потенциальное,соленоидальное и гармоническое векторные поля.
- •28.Понятие числового ряда и его суммы. Свойства числовых рядов.
- •29.Необходимый признак сходимости ряда.
- •30.Интегральный признак Коши.
- •31.Признак сравнения рядов с положительными членами.
- •32.Признак Даламбера.
- •33.Радикальный признак Коши
- •34.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов.
- •35.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •36.Функциональные ряды. Свойства правильно сходящихся рядов.
- •37.Степенные ряды. Область сходимости.
- •38.Свойства степенных рядов.
- •39.Ряды Тейлора и Маклорена.
11. Тройной интеграл в сферических координатах.
Сферическими координатами точки M(x,y,z) называются три числа − ρ, φ, θ , где
ρ − длина радиуса-вектора точки M; φ − угол, образованный проекцией радиуса-вектора на плоскость Oxy и осью Ox;θ − угол отклонения радиуса-вектора от положительного направления оси Oz (рисунок 1).
Обратите внимание, что определения ρ, φ в сферических и цилиндрических координатах отличаются друг от друга. Сферические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями
Якобиан перехода от декартовых координат к сферическим имеет вид:
Раскладывая определитель по второму столбцу, получаем
Соответственно, абсолютное значение якобиана равно
Следовательно, формула замены переменных при преобразовании декартовых координат в сферические имеет вид:
Тройной интеграл удобнее вычислять в сферических координатах, когда область интегрирования Uпредставляет собой шар (или некоторую его часть) и/или когда подынтегральное выражение имеет видf (x2 + y2 + z2). Иногда выгодно использовать т.н. обощенные сферические координаты, связанные с декартовыми формулами
В этом случае якобиан равен
12.Механические приложения тройного интеграла.
Пусть μ(x, y, z) — объемная непрерывная плотность тела V. Тогда:масса тела V
статические моменты относительно координатных плоскостей:
центр масс тела:
, , моменты инерции относ.коорд.плоск.
, относительно координатных осей
, , относительно начала координат
13. Криволинейный интеграл I рода. Основные свойства кри-I.
Обобщением определенного интеграла на случай, когда область интегрирования есть некоторая кривая, является так называемый криволинейный интеграл.
Дугу произвольным образом разобьем на n n частей .Пусть длина каждой дуги ddf равна , . На каждой дуге вавапвап выберем произвольную точку aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa . Составим интегральную смссм сумму . Пусть , наибольшая из длин дуг деления.Пусть в пространстве ( ) задана гладкая дуга кривой , во всех точках которой определена непрерывная функция .Если при , когда , существует конечный предел интегральной суммы , то его называют криволинейным интегралом первого рода (КРИ-I) или криволинейным интегралом по длине дуги от функции , и обозначается .
Таким образом, по определению
. (2.1)
Если кривая лежит в плоскости и вдоль этой кривой задана непрерывная функция , то .
Надо отметить, если функция непрерывная в каждой точке гладкой кривой, то криволинейный интеграл I рода существует, и его величина не зависит ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек в них.
Основные свойства КРИ-I
1. , т.е. криволинейный интеграл I рода не зависит от направления пути интегрирования.
2. , где .
3. .
4. , если путь интегрирования разбить на части и такие, что , и имеют единственную общую точку.
5. Если для точек кривой выполняется неравенство , то .
6. Если , то , где длина кривой (геометрический смысл криволинейного интеграла первого рода).
7. (Теорема о среднем) Если функция непрерывная на кривой , то на этой кривой найдется точка , что .
Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода
Площадь плоской фигуры
Площадь плоской фигуры, расположенной в плоскости и ограниченной замкнутой линией , можно найти по формуле
,при этом кривая , делает обход против часовой стрелки.
Работа переменной силы
Переменная сила на криволинейном участке производит работу, которая находится по формуле
.