38.Свойства степенных рядов.

Сформулируем без доказательства основные свойства степенных рядов.

1)Сумма степенного ряда (7.3) является непрерывной функцией в интервале сходимости .

2)Степенные ряды и , имеющие радиусы сходимости соответственно и , можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из числе и .

3)Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать. Для ряда

при

. (7.6)

4)Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости. Для ряда (7.3) при выполняется равенство

Ряды (7.6) и (7.7) имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд. Перечисленные свойства остаются справедливыми и для степенных рядов вида .

39.Ряды Тейлора и Маклорена.

Для приложений важно уметь данную функцию представлять в виде суммы степенного ряда.Для любой функции , определенной в окрестности точки и имеющей в ней производные до -го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:

,

где ,  остаточный член в форме Лагранжа. Причем число можно записать в виде , где .

Формулу (7.8) можно записать в виде

,

где  многочлен Тейлора.

Если функция имеет производные любых порядков (т.е. бесконечно дифференцируема) в окрестности точки и остаточный член стремится к нулю при ( ), то из формулы Тейлора получается разложение функции по степени , называемое рядом Тейлора:

Если в ряде Тейлора положить , то получим разложение функции по степеням в так называемый ряд Маклорена:

Отметим, что ряд Тейлора можно формально построить для любой бесконечно дифференцируемой функции (это необходимое условие) в окрестности точки . Но отсюда еще не следует, что он будет сходиться к данной функции ;он может оказаться расходящимся или сходится, но не к функции .

В следующей теореме (которую примем без доказательства) сформулировано необходимое и достаточное условие сходимости ряда Тейлора к функции .

Теорема Для того чтобы ряд Тейлора (7.9) функции сходился к функции в точке , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора (7.8) стремился к нулю при , т.е. чтобы .

Для разложения функции в ряд Маклорена (7.10) нужно:

1. найти производные ;

2. вычислить значения производных в точке ;

3. выписать ряд (7.10) для заданной функции и найти его интервал сходимости;

4. найти интервал , в котором остаточный член ряда Маклорена при . Если такой интервал существует, то в нем функция и сумма ряда Маклорена совпадают.