35.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Рассмотрим важный класс рядов, у членов которых поочередно изменяются знаки. Такие ряды называются знакочередующиеся.

Знакочередующимся рядом называется ряд вида

,

где для всех (т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно).Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости, установленный в 1714 г. Лейбницем в письме к И.Бернулли.

Теорема 6.1 (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (6.1) сходится, если

1. последовательность абсолютных величин ряда монотонно убывает, т.е.

;

2. общий член ряда стремится к нулю, т.е.

.

При этом сумма ряда (6.1) удовлетворяет неравенствам .

Следствие. Остаток ряда (6.1) по абсолютной величине меньше абсолютной величины первого из отбрасываемых членов, т.е. .

Например, по признаку Лейбница ряд

сходится, т.к. выполняются условия теоремы 6.1:

1) ; 2) .

36.Функциональные ряды. Свойства правильно сходящихся рядов.

Пусть функции определены в области . Тогда выражение вида

называется функциональным рядом.Придавая определенные значения , получаем числовой ряд

,

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Определение 7.2. Если числовой ряд сходится при , то ряд называется сходящимся в точке , а сама точка называется точкой сходимости ряда. Множество значений , при которых ряд (7.1) сходится, называется областью сходимости функционального ряда.Область сходимости функционального ряда обозначим . Как правило, область не совпадает с областью , а является ее подмножеством, т.е. .

Свойства равномерно сходящихся рядов.

Теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Если члены функционального ряда   - непрерывные функции, и этот ряд равномерно сходится на отрезке  , то сумма этого ряда непрерывна на  .

Теорема о почленном интегрировании равномерно сходящегося ряда. Пусть члены функционального ряда непрерывны на отрезке  , и ряд равномерно сходится к своей сумме   на этом отрезке: . Тогда  , т.е. интеграл от суммы ряда равен сумме ряда, составленного из интегралов от членов равномерно сходящегося ряда.

Теорема о почленном дифференцировании равномерно сходящегося ряда. Пусть члены сходящегося ряда  - дифференцируемые на отрезке   функции, и ряд, составленный из производных , равномерно сходится на  . Тогда ряд  можно почленно дифференцировать, и  , т.е. производная суммы ряда равна сумме ряда из производных.

Отметим тонкость, заключённую в этой теореме: для того, чтобы ряд можно было почленно дифференцировать, требуется равномерная сходимость не самого этого ряда, а ряда, составленного из производных его членов.

37.Степенные ряды. Область сходимости.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

, где  постоянные числа, называемые коэффициентами ряда,  фиксированное число.При получаем степенной ряд вида

. Ряд (1) легко приводится к ряду (2), если положить . Поэтому при изучении степенных рядов иногда ограничиваются степенным рядом (2).

Выясним вопрос о сходимости степенного ряда (7.3). Область сходимости этого степенного ряда содержит, по крайней мере, одну точку (ряд (1) сходится в точке ).

Об области сходимости степенного ряда можно судить, исходя из следующей теоремы.Теорема (теорема Абеля). Если степенной ряд (7.3) сходится в точке , то он абсолютно сходится при всех , удовлетворяющих неравенству .Из теоремы Абеля следует, что если есть точка сходимости степенного ряда, то интервал весь состоит их точек сходимости данного ряда; при всех значениях вне этого интервала ряд (7.3) расходится.Пусть . Интервал или называют интервалом сходимости. Число называют радиусом сходимости степенного ряда. Таким образом,  это такое число, что при всех , для которых , ряд (7.3) абсолютно сходится, а при ряд расходится .Отметим, что на концах интервала сходимости (т.е. при и при ) сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно.В частности, когда ряд (7.3) сходится лишь в одной точке , то считаем, что . Если же ряд (7.3) сходится при всех значениях (т.е. во всех точках числовой оси), то считаем, что .

Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда (7.3) можно поступить следующим образом. Составим ряд из модулей членов данного степенного ряда

и применим к нему признак Даламбера. Допустим, что существует предел

.

По признаку Даламбера ряд сходится, если , т.е. ряд сходится при тех значениях , для которых

.

Ряд, составленный из модулей членов ряда (7.3), расходится при тех значениях , для которых .

Таким образом, для ряда (7.3) радиус сходимости

. (7.4)

Аналогично, воспользовавшись радикальным признаком Коши, можно получить, что

. (7.5)

Замечания:Если , то ряд (7.3) абсолютно сходится на всей числовой оси. В этом случае . Если , то .

Если дан степенной ряд (7.2), то его радиус сходимости определяется также по формулам (7.4) или (7.5), а интервал сходимости будет интервал с центром в точке : .