31. Момент инерции твёрдого тела.

Момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции отдельных его частиц:

где - масса -й частицы тела, - ее расстояние от заданного центра или оси.

Предположим, что масса выделенной частицы тела , расстояние от нее до начала координат (т. о) , а координаты, соответственно, .

Момент инерции относительно т. О по определению равен

а относительно координатных осей:

Если одним из размеров тела можно пренебречь по сравнению с двумя другими (плоское тело), эта связь запишется в виде Момент инерции тонкого стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящий через его центр масс.

Если стержень имеет массу и длину , а ось проходит через центр масс стержня, то коор­динаты левого и правого концов стерж­ня равны - и . Выделим в стержне на расстоянии от оси малый его участок длины . Его мо­мент инерции относительно равен:

Момент инерции тонкой пластины прямоугольной формы относительно одной из её сторон.

Размеры тонкой пластины массы , выделим в пластине на расстоянии от оси узкий слой ширины и запишем его момент инер­ции:

Момент инерции однородного шара относительно его центра.

Пусть масса шара равна , а радиус . Выделим в шаре тонкий сферический слой радиуса , толщины , момент инерции которого относительно центра шара равен

Теорема Штейнера.

Расчет моментов инерции тела даже правильной формы, если ось не проходит через центр масс тела, затруднен. В этом случае удобно пользоваться теоремой Штейнера:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси , параллельной заданной и проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

Для доказательства через центр масс тела (т. С) проведем ось , параллельную заданной оси . Расстояние между осями равно . Выберем частицу тела массы , настояние от нее до осей и указаны на рисунке.

Момент инерции тела относительно по определению:

Из геометрических соображений:

Первое слагаемое в правой части дает момент инерции тела относительно :

Поскольку a=const, второе слагаемое принимает вид (Ma²), где М - масса тела.

В последнем слагаемом:

следовательно, по определению центра масс:

последнее слагаемое обращается в нуль, поэтому:

32. Кинетическая энергия твёрдого тела для различных типов движения.

1.ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

2.ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

3.ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА

где: и - моменты инерции тела относительно осей, проходя­щих через центр масс и мгновенный центр вращения, - расстояние между осями, . - скорость центра масс поступательной час­ти движения), (омега) - угловая скорость вращения вокруг оси, прохо­дящей через центр масс.

2. Вращательное движение