6.Знакочередующийся ряд. Теорема Лейбница. Оценка остатка ряда.

Ряд называется знакочередующимся.

Теорема Лейбница

Если все члены знакочеред ряда

в которой все положительные числа U_n монотонно убывают по абсолют величине U₁≥ U₂≥ U₃≥.. U_n≥..

и если то ряд сходится.

Док-во

Докажем что сущ предел последовательности «четных» частичных сумм S_2n ряда при n→∞

=> S_2n монотонно возрастает с ростом n, кроме того

=> все частичные суммы S_2n ограничены числом U₁, т.е. S_2n ≤ U₁. Т.к. последовательность «четных» частичных сумм монотонна и ограничена, то она имеет предел Но тогда сущ предел «нечетных» частичных сумм S_2n-1 и он также равен S. Т.к. предел

Независимость от «четности» или «нечетности» частичной суммы S_n при n→∞ предел существует и равен S => ряд сходится. Чтд.

Оценка остатка ряда

- остаток знакочеред ряда – есть новый знакочер ряд и т.к. абс величина суммы знакочеред ряда не превосходит абс величины его первого члена, то

Вывод: при замене суммы знакочередующегося ряда суммой первых его n-членов получается ошибка, модуль которой не превосходит абс величины первого отброшенного члена ряда.

7. Знакопеременные ряды. Абсолютная сходимость. Условная сходимость. Примеры. Действия с абсолютно сходящимися рядами.

Абсолютная и условная сходимость.

Опр: Ряд c членами произвольных знаков наз-ся знакопеременным.

Опр: Ряд , где значения U_n - числа одного знака,называется знакочередующимся. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд . Если ряд из модулей расходится, а сам ряд сходится, то его называют условно сходящимся. Исследование знакопеременного ряда начинают с исследования на сходимость ряда из модулей методами для рядов с неотрицательными членами. Если такой ряд сходится, то получен ответ: ряд сходится абсолютно.

Действия с абсолютно сходящимися рядами:

1)Если ряд абс сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму S.

2) Абс сходящиеся ряды с суммами S₁ и S₂ можно почленно складывать(вычитать), в результате чего получается абс сходящийся ряд,сумма которого S₁ + S₂ (S₁ - S₂)

3)Под произведением 2 рядов a₁+ a₂+.. + a_n и b₂+ b₁+..+ b_n понимают ряд вида (a₁b₁)+( a₁b₂+ a₂b₁)+( a₁b₃+ a₂b₂+ a₃b₁)+…+( a₁b_n+ a₂b_n-1+…+ a_nb₁)+…

Произведение 2 абс сходящихся рядов с суммами S₁ и S₂ есть абс сходящийся ряд с суммой S₁ * S₂

8. Функциональный ряд. Область сходимости. Равномерная, поточечная сходимость.

Функциональный ряд, его сходимость. Рассмотрим ряд, , членами которого являются функции, определенные на некотором множестве D.Множество значений х, для которого функц ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда. Такая сходимость по точкам называется поточечная.

Равномерная сходимость функционального ряда. Пусть , т.е. функциональный ряд сходится. Если для найдется такое число N независимо от x и такое, что для выполняется неравенство , то говорят, что функциональный ряд сходится равномерно на множестве .

9.Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда: Если члены функционального рада в некотором промежутке Е не превосходит по абс величине соотв членов сход числового ряда с положительными членами, т.е. если

для всех , то данный ряд сходится в этом промежутке равномерно.