-
Асимптоты графика функции.
Определение 1. Асимптотами называются такие прямые, к которым сколь угодно близко приближается график функции, когда переменная стремится к плюс бесконечности или к минус бесконечности.
ИЛИ
Определение 2. Прямая называется асимптотой графика функции, если расстояние от переменной точки М графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки М от начала координат по какой-либо ветви графика функции.
ИЛИ
Определение 3. Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
Виды асимптот:
- горизонтальные;
- вертикальные;
- наклонные.
-
Общая схема исследования функций.
Общее исследование функции и построение ее графика рекомендуется выполнять по следующей схеме:
1. Найти область определения функции.
2. Проверить, не является ли функция четной или нечетной; проверить также, не является ли она периодической.
3. Найти, если это возможно, точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки знакопостоянства функции. Иногда для уточнения построения графика следует найти две-три дополнительные точки.
4. Найти производную функции и ее критические точки.
5. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.
6. Построить график функции, используя полученные результаты исследования.
Типовые задания к экзамену
Раздел 1
1. Вычислить определитель:.
2.
Найти матрицу, обратную данной:
.
3.
Найти матрицу, обратную данной:
.
4.Решить
матричное уравнение:
.
5. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее матричным методом:
6. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее методом Крамера:
7. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее методом Гаусса:
9.
Найти решение матричного многочлена
f(x):
,
если
.
10.
Найти решение матричного многочлена
f(x):
,
если
.
1. Написать разложение вектора d по векторам a, b, c.
d={3;3;-6}, a={3;1;0}, b={-1;0;6}, c={-1;2;0}.
2. Найти косинус угла между векторами AB и AC.
A=(-4;4;4), B=(3;1;0), C=(-1;0;6).
3. Вычислить площадь треугольника с вершинами A=(-4;4;4), B=(3;1;0), C=(-1;0;6).
4. Компланарны ли векторы a={-3;2;1}, b={3;1;2}, c={3;-1;4}?
5. Заданы два вектора в пространстве: a={0;1;1}, b={-2;0;1}. Найти:
а) их сумму;
б) их разность; косинус угла между ними;
в) их векторное произведение.
6.
Составить уравнение прямой, проходящей
через начало координат и точку пересечения
прямых
и
.
7. Найти уравнения высот треугольника АВС, проходящих через вершины А и В, если А(–4; 2), В(3; –5) и С(5; 0).
8. Дан треугольник с вершинами А(3; 1), В(–3; –1) С(5; –12). Найти уравнение и вычислить длину его медианы, проведенной из вершины С.
1. Вычислить пределы, не используя правило Лопиталя:
а)
;
б)
;
в)
г)
д)
е)
2.
Найти производные
:
а)
;
б)
;
в)
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
3. Найти производную указанного порядка:
а)
;
б)
Пример экзаменационного билета из двух теоретических вопросов и четырех практических заданий:
|
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет путей сообщения» |
|
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1 |
|
Вопрос 1. Матрицы: определение, виды. Действия с матрицами: транспонирование, сложение, умножение на число, умножение матриц. Вопрос 2. Смешанное произведение векторов: геометрический смысл, свойства. Теорема о смешанном произведении в координатах.
Практическая часть
|
и
,
если
A(1;3;-2),
B(-2;0;1),
C(3;-1;4),
D(5;4;-3).
;
;
b)
