Свойства:

(умножение * заменяется в векторном произведении на x)

-

- , если векторы a и b коллинеарны

-

-

-

Теорема. Векторные произведения в координатах ортонормированного базиса определяется определителем, первая строка которого составлена из орт, а 2-ая и 3-ая из координат векторов сомножителей.

Геометрический смысл. Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах.

21. Смешанное произведение векторов: геометрический смысл, свойства. Теорема о смешанном произведении в координатах.

Смешанным произведение трех векторов a, b и c называется число, которое получается если векторы a и b перемножить векторно, а полученный в результате этого умножения вектора умножить скалярно на вектор c.

Геометрический смысл. Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на векторах.

Свойства:

- смешанное произведение меняет знак при перестановке двух векторов;

- смешанное произведение трех векторов не меняется при циклической перестановке перемноженных векторов;

- смешанное произведение трех векторов равно нулю если:

- хотя бы один из векторов равен нулю;

- векторы компланарны;

- два вектора из трех коллинеарны.

Теорема. Смешанное произведение в координатах ортонормированного базиса определяется определителем, составленным из координат 3-х векторов.

22. Виды уравнения прямой: каноническое, в общем виде, проходящей через две данные точки, в отрезках на осях, параметрическое, через угловой коэффициент, через нормальный вектор.

- Уравнение называют уравнением прямой в каноническом виде;

- Уравнение называется общим уравнением прямой.

- Уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две данные точки;

- Уравнение прямой вида называется уравнением прямой в отрезках;

- Уравнение вида называется параметрическим уравнением прямой;

- Уравнение вида называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, где k – и есть угловой коэффициент;

- Если в общем уравнении прямой вида числа А, В и С таковы, что длина вектора n=(A,B) равна единице, а С≤0, то это общее уравнение прямой называется нормальным уравнением прямой.

23. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Угол между прямыми на плоскости. Расстояние от точки до прямой.

Две прямые на плоскости могут пересекаться, быть параллельными или совпадать. 

Угол между прямыми – это размер наименьшего из углов, образованных этими пересекающимися прямыми. Угол можно найти используя формулу: .

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.

24. Общий вид уравнения плоскости. Теорема о совпадении плоскостей. Уравнение плоскости в отрезках. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Угол между плоскостями.

Уравнение называется общим уравнением плоскости.

Две плоскости имеют не менее трёх общих точек, не лежащих на одной прямой. Такие плоскости совпадают.

Уравнение вида называется уравнением плоскости в отрезках.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.

25. Уравнение прямой в пространстве. Угол между прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.

Уравнение прямой в пространстве может быть задана системой из уравнений двух пересекающихся плоскостей

Углом между двумя прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным прямым.

Угол между прямой и плоскость – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

26. Взаимное расположение плоскости и прямой. Взаимное расположение прямых в пространстве.

Возможны три случая взаимного расположения плоскости и прямой: прямая лежит в плоскости; прямая пересекает плоскость; прямая и плоскость параллельны.

Возможны три случая взаимного расположения прямых в пространстве: две прямые параллельны, пересекаются или скрещиваются.