Семь доказательств

равна нулю, но работы внутренних сил, действующих между каждыми двумя твёрдыми тела-

ми, принадлежащими к этой системе, в общем случае не равны нулю» [Кильчевский Н. А. Курс теоретической механики. Том 1. (Кинематика, статика, динамика точки). М., 1972, 456 стр. с илл. (стр. 147)].

Показано, что требования закона сохранения энергии внутри замкнутой электромеханической системы удовлетворяются при условии, когда скорости и ускорения поступательного и вращательного движения пропорциональны друг другу, а коэффициентом их пропорциональности является корень квадратный из отношения момента инерции к массе взаимодействующих тел.

Показано, что разработки выполнена в полном соответствии с леммой о параллельном переносе сил и теоремой Пуансо, когда периодически в первом полупериоде сначала одновременно формируются два воздействия, одно из которых является главным вектором силы, а другое — главным вектором момента пары сил, а во втором полупериоде формируется только главный вектор силы, в результате чего сумма не равных нулю работ сил и моментов при вращательно-поступательном движении всегда оказывается больше работы только сил.

1. КОНСТРУКЦИЯ, ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ И БАЛАНС

ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ЭНЕРГИИ

Содержание

Конструктивные исполнения замкнутых многомассовых изменяемых транспортных систем перемещения в пространстве без их взаимодействия с массами внешней среды в качестве опоры представлены в упрощённом виде на рис. 1 и на рис. 2.

Каждая из этих систем содержит стапель с двумя направляющими, вдоль которых обеспечивается поступательное движение кареток с закреплёнными на них роторами, например, электродвигателей постоянного тока (D), к поверхностям вращения статоров которых прикреплены концы, например, стальных тросиков, перекинутых без проскальзывания через шкивы, оси вращения которых закреплены на стапеле, а подвижные относительно стапеля каретки сочленены друг с другом посредством таких же стальных тросиков, перекинутых через шкивы, оси вращения которых закреплены на стапеле таким образом, что направления движения кареток всегда противоположны друг другу.

Рис. 1.

2

Рис. 2.

В результате периодического и поочерёдного приложения к верхним, а затем к нижним тросикам системы (рис. 1) внутренних сил относительно её стапеля, например, посредством приведения во вращательное движение шкивов с помощью электроприводов, подключённых к встроенным в систему электрическим аккумуляторам, статоры каждой пары электродвигателей приводятся поочерёдно в течение одного полупериода в противоположно направленное вращательное движение, а в течение второго полупериода в противоположно направленное поступательное движение. Выполняемые работы внутренними силами, численно равны приращениям (дифференциалам) кинетической энергии поступательного движения центров масс и вращательного движения их моментов инерции и равны приращениям (дифференциалам) электрической энергии аккумуляторов, что находится в полном соответствии и с теоремой Кёнига, и с законом сохранения энергии в замкнутой системе.

Несколько иначе формируются внутренние силы и моменты при конструктивном исполнении системы, показанном на рис. 2, когда в качестве источника формирования внутренних сил и моментов выступают те же самые электродвигатели, а их массы и моменты инерции приобретают кинетическую энергию поступательного и вращательного движения, в результате чего весовые и габаритные характеристики изделия существенно улучаются.

Рассмотрим баланс распределения энергии исходя из того, что работа сил и/или моментов внутри замкнутой изменяемой многомассовой системы реальных тел может совершаться только за счёт преобразования энергии внутреннего источника, входящего в состав замкнутой системы, в качестве которого, в простейшем случае, может быть использован электрический или электромеханический аккумулятор, который вместе с системой преобразования и управления выполняет функцию рекуператора (потребителя-генератора) энергии.

Рассматривать будем не приращения энергии, а её дифференциалы, исходя из того, что дифференциалом функции = ( ) в точке называется главная часть её приращения, равная про-

изведению производной функции на приращение аргумента, а поскольку дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной = , то дифференциал функции

равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной

= ( ) = ′( ) [Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. — М.: Рольф, 2002. — 288 с., с илл. (стр. 158)].

Исходя из закона сохранения энергии в замкнутой электромеханической системе, дифференциал (приращение) её кинетической энергии должен быть равен дифференциалу (приращению) запаса электрической энергии во встроенном в систему источнике (аккумуляторе) , за вычетом

3

дифференциала энергии тех её потерь , которые сопутствуют преобразованию всей энергии:

С учётом теоремы Кёнига, баланс дифференциалов энергии (49) в многомассовой замкнутой изменяемой системе, состоящей из механически взаимосвязанных тел и источника (аккумулятора) энергии, принимает вид:

тельного движения приобретают дифференциалы 1 линейных скоростей, перемещаясь относительно начального их положения на расстояние 1 1 вдоль направляющих, приобретая кинетическую энергию поступательного движения, а их моменты инерции 1 с угловым ускорением 1 1 приобретают дифференциалы 1 1 угловых скоростей и поворачиваются на некоторый угол 1 1 относительно начального их углового положения, приобретая кинетическую энергию вращательного движения, при этом одновременно и масса стапеля 2 с ускорением 2 1 поступательного движения приобретает дифференциал 2 1 линейной скорости, перемещаясь относительно начального его положения на расстояние 2 1 с дифференциалом кинетической энергии поступательного движения.

А на рис. 4 упрощённо представлена иная кинематика внутренних силовых взаимодействий двигателей ( 1, 1) со стапелем ( 2, 2) той же самой системы, при которой в течение второй половины периода 2 = 2 к центрам масс 1 электродвигателей прикладываются противоположно направленные силы − относительно массы 2 стапеля, в результате чего их массы 1 с противоположно направленным ускорением − 1 2 поступательного движения приобретают дифференциалы − 1 2 линейных скоростей, перемещаясь относительно начального их положения на расстояние − 1 2 вдоль направляющих, приобретая кинетическую энергию поступательного движения, и масса 2 стапеля с противоположно направленным ускорением − 2 2 поступательного движения приобретает дифференциал − 2 2 линейной скорости, перемещаясь относительно начального его положения на расстояние

− 2 2 вдоль направляющих с дифференциалом кинетической энергии поступательного движения.

Втечение этой же второй половины периода 2 = 2 , электродвигатели одновременно переводятся

вгенераторный режим и их кинетические энергии вращения рекуперируются в бортовой источник (аккумулятор), а поскольку соосные пары электродвигателей вращаются в противоположных направлениях, то моменты генераторного торможения каждого из них взаимно компенсируют друг друга и не оказываю влияния на общую массу и момент инерции системы, при этом электродвигатели возвращаются в исходное состояние в результате того, что подвижные каретки сочленены друг с другом таким образом, что перемещаются во взаимно противоположных направлениях.

4

Отличительной особенностью такого режима работы замкнутой системы (рис. 3 и рис. 4) является то, что положение её центра масс относительно стапеля — не изменяется, а работа внутренних сил при противоположно направленном перемещении центров масс каждой пары электродвигателей — выполняется почти по замкнутому пути, в результате чего — почти вся работа по их перемещению равна нулю потому, что в течение каждого очередного полупериода действия внутренних сил центр масс всей системы перемещается равноускоренно и приобретает дифференциал скорости и, соответственно, пути, в результате чего этот контур пути работы внутренних сил оказывается не полностью замкнутым к окончанию каждого очередного полупериода их действия.

Рис. 3.

Рис. 4.

Теперь рассмотрим, какие виды дифференциалов кинетических энергий приобретают электродвигатели и массы стапеля в течение каждого полного периода действия внутренних сил и/или моментов. Для этого (50) представим в виде конкретных дифференциалов кинетических энергий для каждого

из двух равных друг другу и повторяющихся полупериодов 1 = 2 = 2 действия внутренних сил. Когда в первом полупериоде 1 к поверхностям вращения электродвигателей приложены момен-

ты сил , то их массы 1 и моменты инерции 1 приобретают одновременно и дифференциалы кинетических энергий поступательного движения 1 , и дифференциалы кинетических энергий вращательного движения 1 :

Σ 1 = 1 + 1 = 1 1 1 + 1 1 1 + 1 1 1 + 1 1 1 , (3)

а массы стапеля, под действием противоположно направленных сил − , приобретают только диффе-

ренциал кинетической энергии 1 поступательного движения:

5

Во втором же полупериоде 2, когда к центрам масс электродвигателей приложены только силы,

то их массы приобретает только дифференциалы кинетических энергий поступательного движения:

а массы стапеля, под действием противоположно направленных сил − , приобретает такой же самый дифференциал кинетической энергии 2 поступательного движения, что и в первом полупериоде

1:

Полный дифференциал кинетической энергии, приобретаемой замкнутой системой (электродвигателями и стапелем) за каждый полный повторяющийся период действия внутренних сил и моментов, равен разности между суммой дифференциалов (51) и (52) и суммой дифференциалов (53) и (54):

Σ = Σ 1 + Σ 1 − Σ 2 − Σ 2 =

= 1 + 1 + 1 − 2 − 2 =

= 1 1 1 + 1 1 1 (7)

В соответствии с законом сохранения энергии в замкнутой системе, полный дифференциал кинетической энергии (55), приобретаемой замкнутой системой в течение каждого полного повторяющегося периода действия внутренних сил, является дифференциалом кинетической энергии всей системы в виде дифференциала кинетической энергии Σ поступательного движения всех масс

Σ замкнутой системы и равен дифференциалу (убыли) энергии электрического аккумулятора за вычетом дифференциала естественных потерь энергии , сопровождающих любые реальные процессы, связанные с выполнением работ и учитываемые в виде коэффициента полезного действия (КПД):

Из (56) следует, что приращение кинетической энергия всей замкнутой системы, приобретающей ускорение поступательного движения, численно равно приращению кинетической энергии вращательного движения статоров электродвигателей, приобретающих угловое ускорение в результате приращения (убыли) электрической энергии встроенного в систему аккумулятора.

2. ПЕРВОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: РАБОТА ВНУТРЕННИХ СИЛ

НЕ РАВНА НУЛЮ

Содержание

Доказательство основано на изложении только малой части представленных в русскоязычной учебной и научной литературе выводов относительно того, что работа внутренних сил в замкнутой изменяемой многомассовой системе, состоящей из реальных тел, не равна нулю:

•Работа внутренних сил в изменяемой системе в общем случае не равна нулю [М. И. Бать, Г. Ю. Джанелидзе, А. С. Кельзон. Теоретическая механика в примерах и задачах. т. II (динамика) - М., 1975 г., 608 стр. с илл. (стр. 305)];

6

•В то время как главный вектор и главный момент равны нулю, сумма работ внутренних сил, вообще говоря, нулю не равна [Теоретическая механика. Учеб. для вузов/Н. Н. Поляхов, С. А. Зегжда, М. П. Юшков; Под ред. П. Е. Товстика. Н. Н. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2000. - 592 с.: илл. (стр. 147)];

•В законах количеств движения и кинетических моментов внутренние силы не фигурировали, ибо их главный вектор и главный векторный момент относительно любого центра равны нулю; но алгебраическая сумма работ внутренних сил в общем случае материальной системы не равна нулю, как показано в п. 5° § 2, она равна нулю в частном случае абсолютно твёрдого тела, но уже для упругого тела не равна нулю [Геронимус Я. Л. Теоретическая механика. Очерки об основных положениях. М., 1973 г. 512 стр. с илл. (стр. 206)]

•Доказательство проведено для двух точек абсолютно твёрдого тела, за которые мы можем принять любые точки тела, а потому оно относится ко всем точкам твёрдого тела. В случае упругого тела или изменяемой системы точек сумма работ внутренних сил не равна нулю. Так, например, при падении камня на Землю силы взаимодействия между камнем и Землёй (внутренние силы системы Земля — камень) равны и противоположны, но сумма работ этих сил не равна нулю [Гернет М. М. Курс теоретической механики. Изд. 3-е, перераб. и доп. Учебник для вузов. М., «Высшая школа», 1973. 464 с. с илл. (стр. 374)].

•Как уже известно, главный вектор и главный момент всех внутренних сил для любой механической системы равны нулю. Сумма работ внутренних сил равна нулю только в случае твёрдого тела, а для любой механической системы в общем случае она не равна нулю [Добронравов В. В., Никитин Н. Н., Дворников А. Л. Курс теоретической механики. Изд. 3-е, перераб. Учебник для вузов. М., «Высшая школа». 528 с. с илл. (cтр. 293)].

•При виртуальном перемещении твёрдое тело остаётся твёрдым. Но ничто не запрещает нам рассматривать перемещения деформируемых тел. Следует только помнить, что в этом случае работа внутренних сил не будет равна нулю [Парс Л. А. Аналитическая динамика. М., 1971. 636 стр. с илл. (стр. 38)].

Можно указать и ещё очень много научных трудов с подобными доказательствами и не менее многочисленными пояснениями и выводами, касающимися этих доказательств. Сдерживает только то, что это уже будет выглядеть как издевательство над противниками этих доказательств.

Дословное смысловое содержание таких пояснений и выводов можно свести, например, к следующему обобщающему выводу: «Однако отсюда вовсе не следует, что внутренние силы не влияют

на движение системы. Это было бы так, если внутренние силы были бы уравновешенной системой сил. Однако они таковой не являются, поскольку приложены к разным точкам. Если система состоит из нескольких твёрдых тел, то работа внутренних сил каждого твёрдого тела равна нулю, но работы внутренних сил, действующих между каждыми двумя твёрдыми телами, принадлежащими к этой системе, в общем случае не равны нулю» [Кильчевский Н. А. Курс теоретической механики. Том 1. (Кинематика, статика, динамика точки). М., 1972, 456 стр. с илл. (стр. 147)], [Гернет М. М. Курс теоретической механики. Изд. 3-е, перераб. и доп. Учебник для вузов. М., «Высшая школа», 1973. 464 с. с илл. (стр. 374)], [Андронов В. В. Теоретическая механика. 20 лекций. Ч. 2. Динамика: Учебное пособие для студентов очного и заочного обучения. 2-е изд., доп. и

7

испр. — М.: МГУЛ, 2003. — 128 с. (стр.43)].

Доказательства и пояснения, представленные в названных научных трудах, указывают на то, что работа внутренних сил может равняться нулю только в абсолютно твёрдых телах, которые реально не существуют, поскольку устойчивые статические состояния в природе отсутствуют согласно теорема Ирншоу [А. А. Детлаф, Яворский Б. М. Курс физики: Учеб. пособие для втузов. — 4-е изд., испр. — М.: Высш. шк., 2002. — 718 с.: ил. (стр.196)].

3. ВТОРОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: ИЗ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ

ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ

Содержание

В соответствии с теоремой Кёнига, полная величина кинетической энергии любого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения его центра масс и вращательного движения момента инерции относительно этого центра масс:

2 2( , , , ) = ( , ) + ( , ) = + (9)

2 2

Конструкции замкнутых транспортных систем перемещения в пространстве без их взаимодействия с массами внешней среды в качестве опоры, представленные на рис. 1 и рис. 2, предусматривают возможность формирования кинетических энергий, входящих в состав системы тел, двумя известными способами:

•или путём придания одновременно вращательного и поступательного движения применительно к подвижным относительно стапеля массам и моментам инерции электродвигателей в результате приложения к их поверхностям вращения моментов сил;

•или придания исключительно поступательного движения массам электродвигателей и стапеля в результате приложения к центрам их масс только лишь сил.

Стапель, с размещёнными на нём направляющими, блоками натяжения тросов и рекуператорами энергии (не показаны), при использовании любого из этих двух способов, способен приобретать только кинетическую энергию поступательного движения, в результате того, что любое силовое взаимодействие его с электродвигателями связано только с приложением силы к его центру масс.

Исходя из закона сохранения энергии в замкнутой системе взаимодействующих тел, дифференциал энергии, приобретённой одним телом, равен дифференциалу энергии, израсходованной другим телом, поэтому оказывается достаточным определить один из таких дифференциалов, для того чтобы получить информацию о дифференциале энергии другого тела.

Применительно к электродвигателям, которые подвижны относительно стапеля, в результате приложение к их поверхностям вращения моментов сил в течение первой половины периода 1 их действия, массы их и моменты инерции приобретают полный дифференциал кинетической энергии (57)

а в результате приложения противоположно направленных сил к их центрам масс в течение второй половины периода 2 их действия, массы электродвигателей приобретают только дифференциал

8

кинетической энергии поступательного движения, поскольку составляющая дифференциала кинетической энергии вращательного движения рекуперируется в бортовой источник электрической энергии (аккумулятор):

( 2)

(11)

2

Применительно к стапелю, дифференциалы приобретаемой его массами кинетической энергии и в течение первых, и в течение вторых половин периодов действия внутренних сил равны дифференциалам кинетической энергии, приобретаемой электродвигателями, в результате чего полный дифференциал кинетической энергии, приобретаемой системой в течение первой и второй половин периодов действия внутренних сил равен сумме дифференциалов кинетических энергий электродвигателей и стапеля, которая, исходя из закона сохранения кинетической энергии взаимодействующих тел в замкнутой механической системе, равна удвоенной величине одной из них, в данном случае — равна удвоенной величине дифференциалов кинетической энергии электродвигателей:

Разность дифференциалов кинетических энергий (60) и (13) замкнутой системы за каждый полный период поочерёдного действия внутренних сил, является дифференциалом Σ той кинетической энергии поступательного движения общей массы системы, которую приобретают входящие в её состав тела в результате преобразования кинетической энергии вращательного движения моментов инерции электродвигателей, и который, в свою очередь, равен дифференциалу (убыли) электрической энергии

бортового аккумулятора, за вычетом дифференциала энергии потерь , сопровождающих процесс её преобразования:

что соответствует (56) и подтверждает, что изменение кинетической энергии замкнутой системы происходит в результате изменения электрической энергии встроенного в систему аккумулятора.

Из (60) сразу же следует:

что указывает на пропорциональность зависимости изменения скорости или ускорения поступательного движения от изменения скорости или ускорения вращательного движения тела, подвижного относительно массы замкнутой системы.

4. ТРЕТЬЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: ИЗ СУММЫ РАБОТ

ВНУТРЕННИХ СИЛ

Содержание

Согласно определению, дифференциал работы постоянной по модулю и направлению действия силы на прямолинейном перемещении ее точки приложения равен:

9

Всоответствии с леммой о параллельном переносе сил: [Н. В. Бутенин, Я. Л. Лунц, Д. Р. Менкин. Курс теоретической механики. В двух томах. — СПб.: Издательство «Лань», 2002. — 736 с. (Учебник для вузов. Специальная литература) (стр. 49)] «Сила, приложенная в какой-либо точке твёрдого

тела, эквивалентна такой же силе, приложенной в любой другой точке этого же тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения» и в соответствии с теоремой Пуансо: [Н. В. Бутенин, Я. Л. Лунц, Д. Р. Менкин. Курс теоретической механики. В двух томах. — СПб.: Издательство «Лань», 2002. — 736 с. (Учебник для вузов. Специальная литература) (стр. 50)] «Всякую пространственную систему сил в общем случае можно

заменить эквивалентной системой, состоящей из одной силы, приложенной в какой-либо точке тела (центре приведения) и равной главному вектору данной системы сил, и одной пары сил, момент которой равен главному моменту всех сил относительно выбранного центра приведения», — одновременно формируются два воздействия, одно из которых является главным вектором силы, а другое — главным вектором момента пары сил.

Всоответствии с рис. 1 и рис. 2, величина дифференциала прямолинейного перемещения точки приложения момента силы в первом полупериоде 1 её действия определяется суммой дифференциала перемещения центра масс электродвигателей и дифференциала перемещения точки приложения момента той же силы к поверхностям вращения электродвигателей:

Соответственно и дифференциал работы 1 момента силы в первом полупериоде 1 её действия, согласно (17), равна:

Во втором полупериоде 2 величина прямолинейного перемещения точки приложения силы определяется только дифференциалом перемещением центра масс электродвигателей:

Соответственно и дифференциал работы 2 силы во втором полупериоде 2 её действия равна:

Разность дифференциалов работ (19) и (21) является полным дифференциалом той работой

внутренних сил замкнутой системы, которая выполняется в течение каждого полного периода их действия:

каждый полный период их действия пропорционален произведению этих сил на величину дифференциала перемещения точки их приложения к поверхности вращения тела, подвижного относительно общей массы замкнутой системы.

Если же обратиться к этому же вопросу, но с несколько иной стороны, то работа есть произведение силы на путь:

=

Так вот, тот путь, на котором происходит действие силы для левого тела, равен сумме двух путей: пути перемещения центра массы левого тела и пути, равному длине дуги при угловом повороте этого же тела:

10