КИС_ЛР#1_01

Если в процессе производства некоторые материалы частично удаляются из смеси, например, выгорают, то последнее ограничение должно быть заменено другим:

где – часть единицы исходного материала, остающаяся в смеси.

Пример 3.1

Производитель металлических сплавов получил заказ на изготовление сплава, содержащего четыре металла согласно следующим требованиям:

металл А – не менее 23%; металл В – не более 15%; металл С – не более 4%; металл D – от 35% до 65%.

Не допускается присутствие никаких других компонентов.

Производитель имеет возможность использовать несколько видов руды, из которых можно получить требуемые металлы. Данные о составе и стоимости каждого вида приведены в таблице 5.

Примеси в процессе производства удаляются и готовой продукции не присутствуют.

Таблица 5 – Составы и стоимости видов руды

Решение

Пусть – количество (в тоннах) -ой руды ( = 1, 2, … 6), используемое на одну тонну готового

сплава. Мы должны минимизировать суммарную стоимость всей руды, используемой для производства одной тонны сплава: = 23 1 + 20 2 + 18 3 + 10 4 + 27 5 + 12 6.

Введем ограничения:

1. Требования к составу сплава:

Это значит, что для получения одной тонны сплава мы должны использовать 0,9714 тонны руды 2 и 0, 8 тонны руды 4. Затраты на руду составят 27,43 доллара на тонну сплава.

11

Ограничение на максимальное содержание металла С в сплаве (не более 4%) является существенным – оно выполняется как равенство в оптимальном решении. Значение двойственной переменной для этого ограничения равно 28,57 доллара на 100%. Таким образом, ослабление этого ограничения на 1% (задание его на уровне не 4%, а 5%) даст снижение затрат на руду на 0,2857 доллара на тонну сплава.

4. Одновременное производство нескольких продуктов одним процессом

При необходимости могут быть добавлены ограничения на количества исходного материала, которые могут быть обработаны различными методами. Нетрудно обобщить эту модель на случай, когда имеется несколько видов исходных материалов.

Пример 4.1

Бумагоделательная машина производит рулоны бумаги шириной 200 см. Потребителям отгружается бумага меньшей ширины, то есть рулоны разрезаются по ширине на отдельные части заданного размера. На данный период заказчикам требуется 500 рулонов шириной 45 см, 300 шириной 24 см и 200 шириной 60 см. Требуется составить план разрезки 200-сантиметровых рулонов на рулоны требуемой ширины в количествах не менее, чем заказанные на каждый размер. Список возможных способов разрезки стандартных рулонов приведен в таблице 6. Например, при разрезке одного рулона по способу 2 получаются 3 рулона шириной 24 см, 2 рулона шириной 60 см и неиспользуемый остаток (отходы) шириной 8 см.

Таблица 6 – Способы разрезки

Решение

Обозначим через число стандартных (исходных) рулонов, которое будет разрезано по

варианту . Если все оказавшиеся лишними 45-, 24или 60-сантиметровые рулоны вместе с остатком уходят в отходы, то целевую функцию можно записать в виде:

то есть мы хотим минимизировать общее количество разрезаемых 200-сантиметровых рулонов, которое потребуется для выполнения заказа. Ограничения вытекают из требований спроса – полученное количество рулонов каждой ширины должно быть не менее, чем затребовано заказчиками:

x3 x5 2x6 3x7 x9 2x10 3x11 4x12 500

3x2 x3 5x4 3x5 2x6 8x8 6x9 4x10 2x11 300

3x1 2x2 2x3 x4 x5 x6 x7 200 .

Вообще говоря, все должны быть целочисленными переменными, но так как они в нашем примере имеют довольно большие значения, то мы будем считать округленные значения достаточно точным решением исходной задачи.

12

Результат

Для данной задачи существует как минимум два оптимальных решения. Значения переменных

по варианту ;– число лишних рулонов соответствующей ширины: при = 1 ширина 45 см, если = 2 – 24,

= 3 – 60 cм.

Таким образом, в этой формулировке минимизируется общая ширина неиспользуемых

остатков. Но эта величина равна разности общей ширины разрезанных рулонов 200 и общей ширины всех рулонов, отправляемых заказчикам 500 ∙ 45 + 300 ∙ 24 + 200 ∙ 60 = 41700. То есть целевые функции и ′ отличаются друг от друга на постоянную величину 41700 см, а это значит, что решение для этих двух задач будет одним и тем же.

5. Модели многостадийных производств

Пусть какая-либо стадия состоит из двух параллельно действующих производственных мощностей, выпускающих один и тот же продукт. В этом случае может оказаться необходимым введение отдельных переменных для каждой. Диаграммы и дают примеры двухстадийной системы, первая стадия которой состоит из двух параллельных производственных мощностей, а вторая стадия – из трех. На диаграмме запасы, создаваемые производственными мощностями 11 и 12 не различаются в модели – они считаются общими. На диаграмме запасы этих рабочих центров учитываются отдельно. В первом случае нет необходимости различать продукцию двух производственных мощностей. Во втором случае могут быть различия в затратах на транспортировку и содержание запасов.

Спрос на продукт каждой предыдущей стадии равен потребности в этом продукте со стороны последующей. Эта потребность равна планируемому объему производства следующей стадии, умноженному на некоторый коэффициент. Например, на одну единицу продукта следующей стадии требуется 3 единицы продукта предыдущей стадии. Тогда этот коэффициент равен 3.

Рисунок 1 – Различные конфигурации двухстадийной системы, производящей один продукт: А – последовательная структура; В – параллельные производственные мощности, общие запасы; С – параллельные производственные мощности, раздельные межоперационные запасы

Пример 5.1

Снова рассмотрим задачу из примера 1.1, где производство состоит из пяти рабочих центров – штамповка, сверление, сборка, отделка и упаковка. Предусматривалась возможность привлечения

13

субподрядчиков на операциях штамповки и сверления, а также возможность сверхурочной работы на отделке. Мы считали систему одностадийной, имеющей на каждой стадии по одному рабочему центру. Различные способы производства (собственное производство/субподрядчик, основное/сверхурочное время) мы рассматривали как отдельные технологические процессы.

Теперь будем представлять структуру системы как двухстадийную: первая стадия выполняет операции штамповки и сверления, вторая – остальные операции. На первой стадии имеется две производственные мощности – производство собственными силами и силами субподрядчика. Вторая стадия состоит из одной производственной мощности, выполняющей операции сборки, отделки и упаковки.

Обозначим через количество продукта , отштампованного собственными силами, через – то же, но закупленное у субподрядчика. На второй стадии будем различать два процесса – отделка в основное время и в сверхурочное. Количество продукта , прошедшего отделку в основное время,

Стадия 2: y11 y12 3000 ;

y21 y22 500 ; y31 y32 1000 ; y41 y42 2000 .

Результат

Оптимальное решение совпадает с полученным нами в примере 2.1. Сравнивая полученную здесь модель с той, что была построена в примере 2.1, видим, что эта модель содержит 15 ограничений и 16 переменных, а примере 2.1 мы имели 11 ограничений и тоже 16 переменных. Пять дополнительных ограничений – это уравнения баланса запасов. Хотя при прочих равных условиях модель с меньшим числом ограничений является более предпочтительной, мультистадийная модель имеет свои преимущества. Во-первых, нет необходимости определять все возможные комбинации производственных мощностей и технологических маршрутов внутри них (в примере 2.1 мы это делали, вводя переменные для каждой из этих комбинаций). Во-вторых, и это более важно, мультистадийная модель легче в применении, когда изменяются затраты, производительности оборудования или технологические маршруты. Изменения вносятся только в одну часть модели и не затрагивают остальных. Особенно значительными эти преимущества оказываются в больших многопродуктовых моделях, предназначенных для планирования на несколько смежных отрезков времени.

14

Пример 5.2

Рассмотрим М-стадийную последовательную систему с несколькими производственными процессами и межстадийным (межоперационным) запасом на каждой стадии.. Система производит один вид конечного продукта. На единицу конечного продукта требуется одна единица полуфабриката, производимого каждой стадией. На каждой стадии имеется несколько производственных мощностей (процессов, источников продукции), таких как основное время, сверхурочное время, закупка у субподрядчика и т. п. Пусть:

Приведенная в данном примере модель легко обобщается на случай, когда на каждой стадии производится несколько промежуточных продуктов, а конечные продукты производятся только на последней стадии. Могут быть варианты структуры модели, когда каждый продукт предыдущей стадии используется только для одного продукта на последующей, или когда продукт, полученный на одной стадии, может использоваться в производстве нескольких продуктов на последующих стадиях. Далее рассмотрим пример именно такой структуры.

Пример 5.3

Структура трехстадийной системы изображена на рисунке 2.

Рисунок 2 – Производственная система для примера 5.3

Продукт, производимый стадией 1, используется в производстве продуктов на стадиях 2 и 3. Продукт стадии 2 используется в производстве продукта стадии 3 а также может продаваться потребителям. Продукт стадии 3 является конечным продуктом, нигде далее в производстве не используется и продается потребителям. Обозначим через

– планируемый объем выпуска на стадии ;– максимальная производительность на стадии ;

15

– число единиц продукта стадии i , необходимое для производства одной единицы продукта стадии ;

– затраты на производство единицы продукта на стадии ;– доход от реализации единицы продукции стадии ;– минимальное значение потребности для продукта ;– максимальное значение потребности для продукта ;

– целевая функция, суммарная прибыль от реализации продукции.

Таким образом, требуется найти максимум функции = 3 3 + 2 2 − 23 3 − 1 1 −2 2 − 3 3 при ограничениях:

1)≤ ( = 1, 2, 3);

2)1 = 12 2 + 13 3;

3)2 ≥ 23 3;

4)2 ≤ 2 − 23 3 ≤ 2;

5)3 ≤ 3 ≤ 3.

Другой вид этой же модели можно получить, если ввести дополнительные переменные 2 и 3, представляющие объемы продаж продуктов 2 и 3. В этой модели максимизируется целевая функция

= 3 3 + 2 2 − 1 1 − 2 2 − 3 3 при ограничениях:

1)≤ ( = 1, 2, 3);

2)1 = 12 2 + 13 3;

3)2 = 23 3 + 2;

4)3 = 3;

5)2 ≤ 2 ≤ 2;

5) 3 ≤ 3 ≤ 3.

6. Упражнения для самостоятельного выполнения

Упражнение 6.1

Решите задачу из примера 1.1. Определите «узкие места» и исследуйте влияние ослабления ограничений.

Упражнение 6.2

Завод производит три вида продукции. Необходимо составить план выпуска продукции на предстоящий отрезок времени, то есть определить, какое количество продукции каждого вида следует произвести, чтобы получить максимальную прибыль. Необходимые данные приведены в таблице 7.

А. Сформулируйте математическую модель планирования. В. Решите задачу.

С. Определите цеха, являющиеся узкими местами в данном плане. (Узкими местами считаются те ресурсы, которые в полученном оптимальном решении исчерпаны полностью).

D. Исследуйте влияние изменения доступного времени и производительности цехов.

Таблица 7 – Исходные данные для упражнения 6.2

Упражнение 6.3

Участок производит две детали, А и В, которые имеют технологические маршруты представленные в таблице 8. Стоимость машино-часа на каждом станке и доступное время работы даются в таблице 9. Остальные необходимые данные представлены в таблице 10.

16

Таблица 8 – Технологические маршруты

Таблица 9 – Стоимость машино-часа на каждом станке и доступное время работы

Таблица 10 – Затраты и стоимость

Необходимо рассчитать план производства на предстоящий период по максимуму прибыли с учетом ограничений на доступное время работы станков. Считать, что дефектные детали на каждой операции обнаруживаются немедленно и удаляются из дальнейшей обработки.

Упражнение 6.4

Завод может выпускать три вида продукции – А, В, и С. Имеется четыре цеха – 1, 2, 3 и 4. Продукт А может выпускаться цехом 1 и 2. Продукт В может выпускаться цехами 1, 2, 3 или 4. Продукт С может выпускаться цехами 1, 3 или 4. Составить план производства, дающий максимум прибыли. Данные о производительности и прибыли приведены в таблице 11.

Таблица 11 – Исходные данные для упражнения 6.4

Цеха 1 и 2 должны быть загружены не менее, чем на 100 часов. Продукта А надо произвести не менее 1000 штук. При сборке продуктов А и С используется покупная деталь, доступное количество которой в предстоящем периоде равно 3500. На каждую единицу продукта А используются две этих детали и на каждую единицу продукта С – три.

Упражнение 6.5

Решите задачу примера 2.1.

Упражнение 6.6

Замените в примере 2.1 фиксированные объемы продаж на ограничения

100 < x1 < 6000

0 < x2 < 500

500 < x3 < 3000

100 < x4 < 1000,

17

где xi - общий объем выпуска продукции i-го вида, и снова решите задачу.

Упражнение 6.7

Вусловиях упражнения 6.3 предположите, что спрос на детали А и В фиксирован и равен 3000

и2000 соответственно. Данные о производительности и технологических маршрутах остаются теми же, но теперь имеется возможность работы в сверхурочное время. Дополнительные данные сведены в таблицу 12. Цена реализации и стоимость исходных материалов остаются теми же, что и в упражнении 6.2.

Таблица 12 – Дополнительные данные для упражнения 6.7

Упражнение 6.8

Предполагается, что вы решили задачу 5.2, введя переменные, обозначающие количество единиц каждого продукта, произведенного в каждом режиме (основной/сверхурочный). Сформулируйте эту же задачу, используя переменные, обозначающие количество машино-часов, запланированных для производства каждого продукта в основное и в сверхурочное время. Сравните обе модели. Имеет ли один из этих подходов преимущества?

Упражнение 6.9

В упражнении 6.3 предположите, что четвертая операция на продукте В может выполняться субподрядчиком по цене $1 за единицу. В этом случае оптимальным может оказаться решение с передачей части (или всего объема) работ на четвертой операции субподрядчику. Внесите необходимые дополнения в модель. Добавьте в модель постоянные затраты на заключение договора с субподрядчиком в размере $500.

Упражнение 6.10

Завод производит три продукта А, В и С. Имеется четыре цеха, которые могут изготавливать эту продукцию, и каждый из них выполняет часть работы по изготовлению конечного продукта. Все продукты кроме С имеют альтернативные технологические маршруты. Так, продукт А может производиться, проходя через цеха 1, 2 и 3, или через цеха 1, 2 и 4. Альтернативные маршруты не являются взаимоисключающими: продукт может производиться одновременно на нескольких маршрутах. Прибыль, получаемая от реализации продукции, зависит от использованных технологических маршрутов. Исходные данные сведены в таблицу 13.

В данном периоде должно быть произведено не менее 10 единиц продукта В. Продукт С не может производиться в количестве большем, чем 40 из-за ограничений по материалам.

Рассчитать план производства, максимизирующий суммарную прибыль.

Таблица 13 – Исходные данные для упражнения 6.10

Упражнение 6.11

В примере 3.1 предположите, что потребитель заказал 4000 тонн сплава, но производитель располагает только следующими количествами руды каждого вида: 2500, 2200, 800, 3000, 1000, и

1600.

Упражнение 6.12

В примере 3.1 определите наибольшее значение цены руды вида 1, при которой ее использование в данном заказе экономически оправдано.

Упражнение 6.13

Для изготовления продукции завод использует сталь, которую он получает путем переплавки двух компонентов: чистой стали и металлолома. Производственные затраты в расчете на одну тонну чистой стали составляют 3 усл. ед., а на одну тонну металлолома – 5 усл. ед. Получен заказ на изготовление не менее 5 тонн готовой продукции. Запасы компонентов ограничены – чистой стали имеется 4 тонны, а металлолома – 6 тонн.

Отношение массы металлолома к массе чистой стали в готовой продукции не должно превышать 7/8. Производственный процесс не должен длиться более 18 часов; при этом на одну тонну стали уходит 3 часа, а на одну тонну металлолома – 2 часа.

Рассчитайте план, минимизирующий издержки производства.

Упражнение 6.14

Тарный цех получил заказ на изготовление 10 ящиков размером 105 на 90 на 75 см. Исходным материалом являются доски длиной 230 и шириной 15 см. Каждая из шести граней ящика может зашиваться одним из двух способов: когда доска кладется вдоль длинной стороны грани или поперек. Таким образом, всего имеется 26 = 64 способа. Не все из них различны, так как среди них имеется много совпадающих, то есть соответствующих просто повороту ящика на 900 вокруг одной из осей. Мы будем считать, что противоположные стороны зашиваются одинаково, и в результате получим следующие варианты зашивки (см. таблицу 14).

Таблица 14 – Исходные данные для упражнения 6.14

(В – доски кладутся вдоль длинной стороны, П – поперек).

А. Для заданного варианта определите количество отрезков каждого размера, необходимое для изготовления 10 ящиков.

В. Составьте таблицу всех возможных способов разрезки исходного материала длиной по 230 см на отрезки требуемой длины.

С. Постройте математическую модель задачи оптимального раскроя. D. Найдите оптимальное решение.

Упражнение 6.15

Нефтеперерабатывающий завод располагает тремя технологическими процессами:

1.На одну единицу бензина марки 1 требуется 3 единицы сырой нефти вида А и 0,5 единиц сырой нефти вида В. При этом одновременно получается 2,3 единицы бензина марки 2.

2.На одну единицу бензина марки 1 требуется 0,8 единицы сырой нефти вида А и 2,7 единиц нефти вида В. При этом одновременно получается 0,4 бензина марки 2.

3.На одну единицу бензина марки 1 требуется 1,4 единицы сырой нефти вида А и 2,1 единиц сырой нефти вида В. При этом одновременно получается 1,2 единицы бензина марки 2.

Запас нефти вида А равен 120 единицам, запас нефти вида В равен 200 единицам. Заданы ограничения на объемы продаж бензина:

– бензина марки 1 не менее 40 единиц и не более 50;

– бензина марки 2 не менее 60 единиц и не более 90.

19

Расходы на переработку одной единицы нефти вида А (вместе с затратами на ее закупку) составляют 8 денежных единиц, расходы на переработку одной единицы нефти вида В (вместе с затратами на ее закупку) составляют 6 денежных единиц.

Отпускная цена единицы бензина марки 1 равна 20, бензина марки 2 – 30. Найдите оптимальный план производства.

Упражнение 6.16

В примере 2.1 предположите, что для заключения договора с субподрядчиком требуются постоянные затраты в размере 500 долларов. Определите верхнюю границу этих затрат, при которой использование субподрядчика еще целесообразно.

Добавьте также ограничение на минимальный объем работ, передаваемый субподрядчику – не менее 1500 штук в сумме по всем продуктам.

Упражнение 6.17

В упражнение 6.15 добавьте условие: процессы 1 и 3 являются взаимоисключающими, то есть может использоваться только один из них (любой).

20