![](/user_photo/_userpic.png)
- •Определители 2-го, 3-го и n-го порядков, их свойства и методы вычисления.
- •Системы линейных алгебраических уравнений, методы их решения: метод Крамера
- •Скалярное произведение векторов, его основные свойства, выражение через координаты перемножаемых векторов.
- •Векторное произведение векторов, его основные свойства, выражение через координаты перемножаемых векторов.
- •Условие компланарности векторов в координатной форме:
- •Декартовы и полярные координаты на плоскости. Уравнения линий в декартовых, полярных координатах и в параметрическом виде. Примеры.
- •Прямая в пространстве и ее основные уравнения: векторно-параметрическое, канонические, по двум точкам, общие уравнения (пара пересекающихся плоскостей).
- •Кривые 2-го порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола и их уравнения в декартовых и полярных координатах, в параметрическом виде.
- •Поверхности и их уравнения в пространстве. Каноническая теория поверхностей 2-го порядка: геометрические свойства и исследование их формы методом сечений. Уравнения поверхностей вращения.
- •Множество действительных чисел. Числовые последовательности, их пределы.
- •Свойства пределов функции:
Свойства пределов функции:
-
Предел суммы/разности двух функций равен сумме/разности их пределов:
-
Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:
-
Предел частного двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю:
-
Константу можно выносить за знак предела:
-
Предел степени с натуральным показателем равен степени предела:
Функция
называется
бесконечно
малой
при
,
если
.
Функция
называется
бесконечно
большой при
,
если
.
Теорема.
Если
функция
—
бесконечно малая при
,
то
—
бесконечно большая функция при
.
Если
функция
— бесконечно большая при
,
то
- бесконечно малая функция при
(
).
Справедливы следующие утверждения:
-
Сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
-
Произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая функция.
-
Произведение конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
Теоремы о пределах
Если
пределы
и
существуют
и конечны, то
-
, где с – const;
-
+
;
-
;
-
, где
.
Замечательные пределы.
-
Первый замечательный предел:
.
-
Второй замечательный предел:
,
— иррациональное
число,
— одна из фундаментальных величин в
математике. Функция
называется экспонентой;
называется натуральным
логарифмом.
Для
сравнения двух бесконечно малых функций
и
в
точке
находят
предел отношения
.
Если
и
,
то
функции
и
называются бесконечно
малыми одного порядка.
Если
,
то
называется
бесконечно
малой высшего порядка по сравнению с
.
Записывается
это так:
.
Если
,
то бесконечно малые функции
и
называют эквивалентным
и обозначают
.
Основные
эквивалентности
при
:
,
,
,
,
,
.
Предел отношения двух бесконечно малых функций в некоторой точке равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно малых функций в той же точке.
-
Непрерывность функции в точке, интервале, на отрезке. Непрерывность основных элементарных и элементарных функций в области их определения. Точки разрыва функции и их классификация. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Функция
называется непрерывной
в точке
,
если предел функции в точке
существует и
.
Функция
называется непрерывной
в точке
,
если существуют односторонние пределы
в точке
и
.
Если
хотя бы один из этих односторонних
пределов не существует или равен
бесконечности, то
называется точкой
разрыва второго рода.
Если
функция непрерывна во всех точках
отрезка
,
то она называется непрерывной
на этом отрезке
Теорема
I.
Если
функции
и
непрерывны в точке
,
то в этой точке непрерывны функции
,
,
.
Теорема II. Сложная функция, составленная из непрерывных функций, непрерывна в соответствующей точке.
Теорема III. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.
Теорема
1 (о сохранении знака непрерывной
функции). Если
непрерывная
в точке х0
и
0,
то существует интервал, которому
принадлежит точка х0,,
где
функция
имеет тот же знак,. что и
.
Теорема
2 (о наибольшем, наименьшем и промежуточных
значениях непрерывной функции).
Непрерывная на отрезке
функция
достигает
на этом отрезке наибольшего М и наименьшего
m
значения, а также принимает все свои
промежуточные значения, т.е. для
произвольного
существует
хотя бы одно значение
такое, что
Теорема
3 (о нулях непрерывной функции).
Если функция
непрерывна
на отрезке
и на концах отрезка принимает значения
противоположных знаков, т.е.
,то
существует хотя бы одно значение х0
такое, что
(существует
корень уравнения
-
Производная функции, её смысл (геометрический, физический, экономический). Производная суммы, разности, произведения, частного функций, сложной и обратной функций. Таблица производных основных элементарных функций. Уравнения касательной и нормали к графику функции.
Производной
функции
в точке х называется предел
отношения приращения функции
к приращению аргумента
,
когда
,
т.е.
.
Для
производной функции
в точке х применяют также обозначения:
.
Функция, имеющая в данной точке конечную производную, называется дифференцируемой в этой точке.
Геометрический смысл производной
производная
функции
равна угловому коэффициенту касательной
к графику этой функции в точке с абсциссой
.
Уравнение
касательной к кривой
в точке
имеет вид
,
а
уравнение нормали к данной кривой
в этой же точке записывается в виде
при условии, что
.
Если
,
то уравнение касательной:
,
а уравнение нормали:
.
Механический
смысл производной. Пусть материальная
точка движется прямолинейно по закону
.
Тогда
,
т.е. производная от пути по времени
есть скорость движения точки.
Производная суммы равна сумме производных.
Производная разности равна разности производных
Производная произведения находится по формуле (uv)'=u'v+v'u
Производная чатсного