5.3 Построение логарифмических частотных характеристик системы и их анализ

Линейные типовые звенья можно разделить на два типа – непрерывные и дискретные. Частотные характеристики линейных непрерывных типовых звеньев находятся из передаточных функций после подстановки в них p = jω и выделения действительной и мнимой частей

W₀ (jω) = U₀ (ω) + jV₀ (ω), (23)

где U₀ (ω) и V₀ (ω) – соответственно действительная и мнимая частотные характеристики.

Пользуясь выражением (23), в декартовой системе координат построим амплитудно-фазовые частотные характеристики W₀ (jω). Если перейти к полярной системе координат, то выражение (23) можно переписать в виде

W₀(jω) = H(ω) e ^jφ(ω), (24)

где H (ω) и φ(ω) – соответственно амплитудная и фазовая частотные характеристики.

Формулы для вычисления амплитудной и фазовой частотных характеристик:

(25)

(26)

Частотные характеристики линейных дискретных типовых звеньев находятся путем приведения к комплексной переменной jω которая связана с переменными λ и z следующими соотношениями

(27)

(28)

(29)

Логарифмические частотные характеристики представляют собой амплитудную и фазовую частотные характеристики САР, построенные в полулогарифмическом масштабе.

Логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ) системы называется кривая, соответствующая 20 десятичным логарифмам модуля частотной характеристики (АЧХ), построенная в десятичном логарифмическом масштабе частот:

, (29)

где - амплитудно-частотная функция системы.

Тогда для построения ЛАЧХ можно использовать передаточную функцию непрерывной разомкнутой системы. Данное выражение представляет собой произведение коэффициента усиления и передаточных функций элементарных динамических звеньев.

Известно, что псевдочастота практически совпадает с круговой частотой в области, где выполняется условие:

T₀<2T_min, (30)

где T_min – минимальная постоянная времени элементов разомкнутой системы.

Так как минимальная постоянная времени, соответствующая датчика положения равна 8 с., выбранный период дискретизации – 6, то неравенство выполняется всегда (6<2^.8) и во всей области работы системы можно положить .Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ) системы называется фазовая частотная характеристика, построенная в десятичном логарифмическом масштабе частот.

Рисунок 24 - ЛАЧХ разомкнутой системы

Рисунок 25 - ЛФЧХ разомкнутой системы

По построенным характеристикам определим запасы по фазе и амплитуде. Запас по амплитуде определяется следующим образом. Находится частота при которой ЛФЧХ первый раз пересекает прямую со значением -180⁰, в этой частоте проводится вертикальная прямая до пересечения с ЛАЧХ.

Расстояние от этой точки пересечения до оси составляет запас устойчивости по амплитуде в децибелах. В нашем случае запас по амплитуде 50 дб/дек.

Запас устойчивости по фазе определяется следующим образом. Определяется частота при которой ЛАЧХ пересекает ось (0 децибел). При этой частоте проводится вертикальная прямая вниз до пересечения с ЛФЧХ. Расстояние от точки пересечения до прямой -180⁰ составит запас по фазе в градусах. В нашем случае ЛАЧХ пересекает ось 0, следовательно, запас по фазе составляет 20,75°.

Так как время переходного процесса не соответствует требуемому, то системе требуется коррекция.

5.4 Анализ качества системы

5.3.1 Прямые оценки качества. Для наглядного отображения свойств рассматриваемой системы построим переходный процесс, воспользовавшись обратным преобразованием Лапласа от передаточной функции замкнутой системы.

(31)

По графику переходного процесса (рисунок 24) определим прямые показатели качества системы:

а) Время регулирования (время переходного процесса) - время, за которое система приходит к установившемуся значению с некоторой долей погрешности. Обычно она составляет 5% (пятипроцентная трубка). Приблизительно время регулирования составляет 186,3 (с).

t_p = 186,3 с

Время первого согласования t1=325.

б) Перерегулирование отражает в процентах максимальное отклонение от установившегося значения.

Максимальное значение отсутствует, тогда перерегулирование:

(32)

Рисунок 26– Переходный процесс нескорректированной системы

По характеру переходного процесса можно судить об устойчивости системы: характеристика устойчивая монотонно возрастающая.