16. Решение дифференциального уравнения 1-го порядка классическим методом

Решение дифференциального уравнения заключается в нахождении зависимости изменения во времени выходной переменной при следующих исходных данных:

• дифференциальное уравнение с параметрами k,Т;

• начальное значение выходной переменной ;

• закон изменения во времени входной переменной .

Найдем решение дифференциального уравнения при постоянном значении входного сигнала .

Решение ищем в виде суммы свободной и вынужденной составляющих

5. Находим свободную составляющую решения:

- запишем характеристическое уравнение ;

- найдем корень уравнения ;

- запишем свободную составляющую решения дифференциального уравнения:

.

6. Находим вынужденное решение. Входной сигнал относится к полиномам. Поэтому ищем решение в виде такого же полинома

.

Для нахождения значения В подставляем решение в исходное уравнение

, , тогда .

Вынужденная составляющая .

7. Общее решение

8. Используя начальные условия, найдем постоянную :

при

, отсюда

9. Решение уравнения при постоянном входном сигнале

.

Первый элемент выражения отражает влияние начальных условий и показывает, что начальное значение уменьшается по экспоненциальному закону с постоянной времени Т.

Второй элемент выражения отражает влияние входного сигнала при нулевых начальных условиях и показывает, что при подаче на вход звена первого порядка постоянного сигнала выходной сигнал по экспоненциальному закону с постоянной времени Т выходит на значение .

Время падения первого элемента и выхода второго элемента на расчетное значение с точностью 5% (вход в 5% трубку от расчетного значения) называется временем переходного процесса и составляет .

17. Решение дифференциального уравнения численным методом Эйлера

Решение дифференциального уравнения заключается в нахождении зависимости изменения во времени выходной переменной (рис. 1) при следующих исходных данных:

1. дифференциальное уравнение с параметрами k,Т.

2. начальное значение выходной переменной ,

3. закон изменения во времени входной переменной .

При численном решении дифференциального уравнения время берется в дискретные моменты ... Непрерывный входной сигнал заменяется ступенчатым дискретным сигналом Пусть есть решение дифференциального уравнения, при начальном значении . Следующее значение можно определить из треугольника . Суть метода Эйлера заключается в замене криволинейного треугольника abc (рис. 1) на прямоугольный abd. Тогда значение выходной переменной при будет

Из прямоугольного треугольника abd

,

тогда последующее значение можно определить по его предыдущему

На основании геометрического смысла производной тангенс угла наклона касательной равен значению производной функции в данной точке , которое можно определить по дифференциальному уравнению

. Записывая производную как первую разность , запишем выражение для значений на основания значений и в предыдущей точке .

Аналогично запишем выражения для всех последующих значений

В общем случае разностное рекуррентное уравнение имеет вид:

Используя данное уравнение, можно последовательно точка за точкой найти решение уравнения первого порядка при заданных , параметрах уравнения и входному сигналу .