48. Преобразование моделей непрерывных систем к уравнению Коши.

См. предыдущий вопрос и вопросы 25-27.

Приложения.

Методы решения дифференциальных уравнений.

1) Классический метод.

2) Метод Коши.

3) Преобразования Лапласа.

4) Графический метод.

5) Численный метод.

Классический метод решения дифференциальных уравнений:

Ищется в виде суммы Х(t)=X_СВ(t)+X_УСТ(t).

В левой части уравнения находится свободная составляющая, которая определяет вид кривой переходного процесса. В правой части - установившаяся составляющая.

Алгоритм решения:

а) Отыскание общего решения однородного уравнения (свободной составляющей), при правой части уравнения равной нулю.

б) Отыскание частного решения неоднородного уравнения вынужденной составляющей.

в) Получение общего решения неоднородного уравнения.

г) Получение решения линейного уравнения.

Пример:

а) .

Решение ищется в виде , где р - корни характеристического уравнения. В зависимости от вида корней решение записывается в виде:

1) вещественные корни р₁р₂.

2) вещественные корни р₁=р_2.

3) комплексные корни p_i=j.

p₁ <0, p₂<0  затухающее колебание, т.е.

p₁ >0, p₂>0 

Аналогично при р₁=р₂.

p_i=j. <0  гармонические колебания, затухающие по экспоненте.

<0  расходящиеся гармонические колебания.

б) Вид вынужденной составляющей X_УСТ(t) определяется видом правой части:

u(t)=L(t) e ^kt L - многочлен в степени m. k - не является корнем характеристического уравнения.

X_УСТ(t)=M(t) e ^kt. M - полином степени m.

Если L(t)=const, то M(t)=const.

Если k=0, то решение в виде M(t).

Если k является корнем характеристического уравнения, то X_УСТ(t)=tM(t) e ^kt

в) Общее уравнение записывается в виде суммы

Х(t)=X_СВ(t)+X_УСТ(t).

г) Для определения решения уравнения на основании начальных условий определяется значение констант C₁ и C₂. Для уравнений 2-го порядка должно быть 2 начальных условия.

Пример: при нулевых начальных условиях.

а) p²-5p+6=0;  p₁=2, p₂=3.

б) L(t) e ^kt, k=1p_i.

y(t)=M(t)e^kt = (At²+Bt+C)e^t

=

Преобразуем и приравняем к правой части нашего исходного уравнения.

 A=1/2, B=3, C=4.

в)

г) Собственные решения (t=0).



 С₁=1, С₂=-5.

Виды зависимостей (отношения между переменными)

1) Функциональная зависимость - отображение множества точек х

на множество точек у. y=f(x)

2) Оператор - преобразовывает функцию х(t) в y(t).x(t)  x(p).

3) Функционал - каждой функции x(t) соответствует число (скаляр) А, например,

Свойства преобразований Лапласа.

1. Упрощение временных функций.

а)

Получили аналитическую функцию комплексной переменной (p=j).

б) Трансцендентная функция. x(t)=e^{- t}

2. Упрощение операций.

Преобразование Лапласа преобразует дифференцирование и интегрирование в алгебраические операции.

3. Линейность преобразования Лапласа.

а) Преобразование Лапласа от суммы - есть сумма преобразований.

б) Постоянный член можно выносить за знак преобразования.

Пример: решение интегро-дифференциального уравнения.

1) ; начальные условия: y(0)=2, y'(0)=1.

2) Умножаем на e^-pt и проинтегрируем от 0 до .

Получили алгебраическое уравнение. Решаем его относительно y(p).