31. Интегрирующее звено. Математическая модель, характеристики.

1. Дифференциальное уравнение , его решение имеет вид

2. Статическая характеристика. Звено не имеет статической характеристики, т.к. невозможно приравнять нулю все производные в дифференциальном уравнении. Обозначив , получим выражение . Таким образом, имеется вполне определенная зависимость между скоростью изменения выходной переменной и входной переменной. При отсутствии входного сигнала выходная переменная находится в стационарном состоянии. При появлении входного сигнала выходная переменная начинает изменяться, причем скорость изменения зависит от входной переменной. Причем выходная переменная может быть на любом уровне, который нельзя определить по значению входной переменной. Такое звено называется астатическим, что означает отсутствие статической связи между входной и выходной переменной.

3. Передаточная функция

4. Временные характеристики.

Переходная характеристика есть реакция системы на единичный импульс x(t)=1.

,

Весовая характеристика есть реакция системы на единичный импульсный сигнал

;

Графики переходной и весовой характеристик интегрирующего звена приведены на рис.

5. Частотные характеристики. Произведем замену в передаточной функции

Амплитудная фазовая частотная характеристика

Вещественная частотная характеристика

Мнимая частотная характеристика

Амплитудная частотная характеристика. Найдем модуль частотной характеристики.

,

Фазовая частотная характеристика

Амплитудная фазовая частотная характеристика

Таким образом, модуль частотной характеристики (коэффициент передачи) уменьшается с увеличением частоты, а фазовый сдвиг равен =const.

Логарифмические частотные характеристики.

Рассмотрим численный пример

Таким образом ЛАХ интегрирующего звена всегда имеет наклон -20дБ/дек. Для построения ЛАХ надо провести линию с наклоном через одну точку, принадлежащую ЛАХ.

Метод 1. Провести линию через точку

Метод 2. Выражение для ЛАХ можно записать в виде . когда .

Отсюда точка также принадлежит ЛАХ данного звена. Для построения ЛАХ необходимо провести линию с наклоном -20дБ/дек через эту точку.

Метод 3. Провести линию через эти две найденные точки.

Интегрирующее звено на всех частотах имеет отставание по фазе

32. Дифференцирующее звено. Математическая модель, характеристики.

1. Дифференциальное уравнение

2. Статическая характеристика. В дифференциальном уравнении нельзя приравнять нулю все производные. Звено не имеет статической характеристики, т.к. нет однозначной зависимости выходной переменной от входной. Выходная переменная пропорциональна скорости изменения входного сигнала, но она безразлична к значению входного сигнала.

3. Передаточная функция

4. Временные характеристики.

Переходная характеристика есть реакция системы на единичный импульс x(t)=1.

,

Весовая характеристика есть реакция системы на единичный импульсный сигнал

; ???

Учитывая физический смысл производной как тангенс угла наклона касательной к графику изменения переменной, на рис. показано, что весовая функция дифференцирующего звена есть две одновременных дельта функции в положительную и отрицательную стороны. Сумма этих двух бесконечных по амплитуде импульсов равна 0. Но надо проинтегрировать импульсы во времени, чтобы получить точный результат.

Графики переходной и весовой характеристик интегрирующего звена приведены на рис.

5. Частотные характеристики. Произведем замену в передаточной функции

Амплитудная фазовая частотная характеристика

Вещественная частотная характеристика

Мнимая частотная характеристика

Амплитудная частотная характеристика.

Найдем модуль частотной характеристики.

,

Фазовая частотная характеристика

Амплитудная фазовая частотная характеристика

Таким образом, модуль частотной характеристики (коэффициент передачи) увеличивается с увеличением частоты, а фазовый сдвиг равен =const.

Логарифмические частотные характеристики.

Рассмотрим численный пример

Таким образом ЛАХ интегрирующего звена всегда имеет наклон +20дБ/дек. Для построения ЛАХ надо провести линию с наклоном через одну точку, принадлежащую ЛАХ, которой может быть точка .

Дифференцирующее звено на всех частотах имеет опережение по фазе .