20. Получение передаточных функций из дифференциальных уравнений.

1. Дифференциальное уравнение первого порядка

1) Преобразуем уравнение по Лапласу – заменим , а вместо знака производной запишем оператор

2) Вынесем за скобки и найдем отношение , которое является передаточной функцией

2. Астатическое звено второго порядка.

Обозначив , получим

21. Методы прямого, обратного преобразования Лапласа (таблицы, MathCad).

Примеры решения дифференциальных уравнений методом преобразования Лапласа.

Пример 1. Нахождение методом преобразования Лапласа выходного сигнала апериодического звена первого порядка при единичном ступенчатом входном сигнале (функции Хевисайда) . Изображение единичной функции по Лапласу

Находим изображение выходной переменной .

Находим обратное преобразование Лапласа, используя табличное выражение

Учитывая, что , получаем

Переходная характеристика звена первого порядка . График переходной характеристики приведен на рис. . Выходная величина по экспоненте стремится к установившемуся значению .

Пример 2. Нахождение весовой характеристики апериодического звена первого порядка.

Весовая характеристика это реакция звена на единичное импульсное воздействие (функцию Дирака). . Изображение по Лапласу .

Изображение выходной переменной есть сама передаточная функция

Используя табличное преобразование , находим, учитывая ,

Реакция звена первого порядка на дельта функцию Дирака имеет вид ниспадающей экспоненциальной функции с начальным значением ( см. рис. ). Скорость падения определяется коэффициентом Т, который имеет размерность времени и называется постоянной времени. Подставив время в выражение весовой функции можно увидеть, что за это время график весовой функции падает соответственно до 0,05 и 0,02 от начального значения, т.е. время выхода выходной переменной на установившееся значение (соответственно, с 5% и 2% точностью) составляет (3 - 4)Т. На рис. . приведены, построенные в MathCad переходная и весовая характеристики звена первого порядка с передаточной функцией .

Задание 1. Рассчитать и построить графики весовой и переходной функции звена первого порядка, заданного передаточной функцией

Определим корень характеристического уравнения, используя функцию MathCad нахождения корней полинома polyroots(x)

Корень отрицательный, следовательно, звено имеет апериодический сходящийся переходной процесс.

Найдем выход звена при импульсном входном сигнале

Дельта функция имеет прямое преобразование Лапласа L((t))=1

Следовательно, весовая функция элемента является обратным преобразование от предаточной функции элемента.

Переходная характеристика во временной области

Прямое преобразование Лапласа от ступенчатой единичной функции Хевисайда L(1[t])=1/p Переходная характеристика в операторной области (как функция от p)

Построим графики весовой и переходной характеристик и отформатируем их для наглядного представления результатов.

Задание 2. Рассчитать и построить графики весовой и переходной функции звена второго порядка, заданного передаточной функцией

Анализ исходных корней звена.

Определим корни характеристического уравнения элемента

Корни характеристического уравнения комплексные с отрицательной вещественной частью, следовательно мы имеем колебательной звено с затухающими переходными процессами.

Весовая функция исходного элемента

Переходная характеристика элемента

Графики весовой и переходной характеристик имеют затухающий колебательный характер