
Bilety_po_matanu_tolko_praktika
.docБилет №1
3)
4)
5)
Билет № 2
3)
4)
x |
|
(-1) |
(-1;0) |
0 |
|
|
--- |
0 |
--- |
|
+ |
y |
♀ |
|
♀ |
max |
♂ |
5)
Билет № 3
3)
4)
5)
Билет № 4
3)
4)
5)
Билет № 6
3)
4)
5)
Билет № 8
3)
4)
5)
Билет № 7
3)
4)
5)
Билет № 9
3)
4)
5)
Билет № 11
3)
4)
5)
Билет № 13
3)
4)
5)
Билет № 14
3)
или
4)
5)
Билет № 15
3)
4)
или
5)
Билет № 16
3)
4)
5)
Билет № 18
3)
4)
5)
Билет № 19
3)
4)
5)
Билет № 21
3)
4)
5)
Билет № 22
3)
4)
5)
Билет № 24
3)
4)
5)
Билет № 25
3)
4)
5)
или
Билет № 12
3)
4)
Билет № 5
1)
ВОПРОС
Предел
монотонной ф-ции 1 и 2 замеч. пределы.ОТВЕТ
Пусть дана монот. возр. посл
.
Если она огранич. сверху:
то
необход. имеет конечн.предел, иначе
она
.ДОКАЗ
Допустим что переменная огранич. сверху,
тогда для множ
ее
знач. должна сущ. и конеч. верхн.
граница
именно
это число и будет пред. посл. Действ.,во-первых
для всех знач.
будет
во-вторых
какое бы ни взять
найд. такое знач
которое
превзойд.
,
.Так
как ввиду монот. перем, при
будет
т.е.
и подавно
,
то для этих знач номера
выполн.
нерав-ва
так
что
ч.т.д.Пусть
послед.не огран.сверху,тогда сколь ни
велико было бы
найдется
хоть одно знач. посл. большее
,ввиду
монот.
для
и
подавно
1
ЗАМЕЧ
||
докажем
при
(1)для
этого в круге радиуса
рассмотр
хорду
и
касат.
к
окр.в т.
.
Имеем
сект.
.Радианн.меру
обозн.за
т.что
длина дуги
=
сокр.на
и разделим
на
кажд.из членов. нер-ва
;
но
в силу (1)
это
нер-во и реш. вопрос.2
ЗАМЕЧ
ДОКАЗ:
.
кажд.знач.закл. между 2 плож.
цел.числами
выполн.
нерав.
если
то
и
найдем
=;
Пусть
введем
или
чтд
2)ВОПРОС
Опр.интегр.и способы его вычисл.Определ.Пусть
задана
на
.Разобьем
произв. этот промеж.
Наиб.из разност.
будем
обозн.
возьмем
в кажд. из промеж.
произв.
точку
;
и
состав. сумму
Установ.
понятие кон. предела
Представим себе бескон. число
рабиен.
тогда
сход.к
нулю.
понимаем:что
посл. знач. суммы
отвеч.
любой основ. послед. разбиений промеж.всегда
сход. к пределу
как
ни выбир. при
.
Кон. предел
суммы
при
есть
опр. интегр ф-ции
в
промеж от
до
если
предел сущ то
назыв
интегрируем в промеж
Числа
и
есть
нижн и верх пределы ентеграла.Методы
выч: осн ф-ла
(А) Замена переменной
Пусть надо выч.
где
непр
на
Положим
подчинив
ее услов.1)
опр и непр на
ее знач не выход пред промеж
,
когда
измен
2)
,
3)сущ
в
непр произ
тогда имеет место
имеем
одновр
По частям
в
предпол. что ф-ции
,
от
независ. перем.
непр.
в рассм. промеж.
вместе
с произв.Обозн. посл инт. через
тогда по ф-ле(А)
в
то же время в силу (А)
имеем
оконч.
3)
5)
Билет № 20
1) ВОПРОС:
Теорема Лагранжа, Коши. ОТВЕТ:
{Т.Л.}Пусть
опред.
,
сущ. конеч. произв. во всех внутр. точках
,
тогда между точками a
и b
найдтся точка сб в кот. выполн. равенство
.
.
{Док-во} Введем
вспом.ф-ии
1)Дан.ф-ия
2)
...
Удовл. теор.Ролля дан.ф-ия
ч.т.д. {Т.К.}
Пусть ф-ии
и
непрерывны на
,
дифференцируемы на
и
.
Тогда сущ., по крайней мере, одна точка
такая, что
.
{Док-во}
.
Введем
,
.
удовлет.т.Ролля
.
Формула
явл.частным слчаем ф-лы
.
Замеч.: нельзя в док-ве т.Коши использовать
ф.Лагранжа для числителя и знаменателя.
.
ч.т.д.
3)
4)
Билет № 23
2)
ВОПРОС
св-ва опр инт и теор о среднем
ОТВЕТ1!Еслиингегр
в
то
она интегр. и в промеж
,
причем
по опр интегр. при
в предполож. что интегр. сущ. также по
опр полаг.
2!Пусть
интегр
в наиб из промеж
то она интегр и в двух других и имеет
место при любом располож. точек
ДОКАЗ.
Положим
и ф-ция интегр. в
Рассмотр.
разбиен в
на
части, причем
одна
из т. делен
ввиду
положит.всех слаг.из стремл. к 0 сумм
слева следует то же и для правых сумм,
так что инт-мость
в промеж
и
установл.
очевидно
переходя
к пред. при
получ
требуемое рав-во.
3!Если
интегр. в
,
то и
также
интегр. и
4!Если
и
интегр
в
то
тоже
интегр причем
ДОКАЗ. Разобъем
на
чясти и сост. интегр суммы причем т.
на кажд. промеж выбир. произв-но но для
всех сумм одни и те же
Переходя
к пред и
приход.
к требуем. соотн.5!
Если
интегр-ая на
неотр.
то
6!Если
и
и
интегр. на
и
то и
Применить
(5) к
7!
Пусть
интегр
в
и
тогда
интегр.
и имеет место
ДОКАЗ. Убедимся в
.
Если в промеж.
взять любые
и
то
обозн через
колеб-е
в
имеем
стремл
к 0 суммы справа влечет то же слева Самое
нер-во получ из
и пер-дя к пред
8
интегр
в
где
и если во всем промеж имеет место
то
ДОКАЗ
и
перейти к пределу.9!Теор.
о средн. значении.Пусть
интегр.
на
и
пусть во всем промеж.
тогда
где
ДОКАЗ. Если
то
по св (8) имеем
положив
получ требуем. рав-во.Если
,
проводим то же рассужд. для
ф затем, переставив
пределы
переходим к прежней ф-ле.ГеометрПусть
.
Рассмотр. кривол-ную ф-ру
под
кривой
тогда
площ. выражен. кривол. интегр. = площ.
прямоуг. с тем же основ и с некотор. ордин
в
качестве высоты.10!Пусть1)
и
интегр
в
2)
3)
не
меняет знака
о.требуем. промеж. меет место е слева