Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

zadanie_1

.pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
06.01.2019
Размер:
193.71 Кб
Скачать

Задание 1

Даны координаты вершин пирамиды 1 2 3 4. Найти: 1) длину ребра 1 2; 2) угол между ребрами 1 2 и 1 4; 3) угол между ребром 1 4 и гранью 1 2 3; 4) площадь грани 1 2 3; 5) объём пирамиды; 6) уравнение прямой 1 2; 7)уравнение плоскости 1 2 3; 8) уравнение высоты,

опущенной из вершины 4 на грань 1 2 3. Сделать чертеж.

15. 1(1; −1; 2), 2(2; 1; 2), 3(1; 1; 4), 4(6; −3; 8).

Решение:

Для дальнейшего решения найдем вектора по координатам точек и длины

этих векторов (модули векторов):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= {( 2) − ( 1) ; ( 2) − ( 1) ; ( 2) − ( 1) }

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= {2 − 1; 1 − (−1); 2 − 2} = {1; 2; 0}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= √(( )

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

= √1

2

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|

)

+ (( ) )

+ (( )

+ 2

+ 0

= √5

|

 

 

)

 

 

 

1 2

 

 

 

 

1 2

 

 

 

 

1 2

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= {( 3) − ( 1) ; ( 3) − ( 1) ; ( 3) − ( 1) }

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= {1 − 1; 1 − (−1); 4 − 2} = {0; 2; 2}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= √(( )

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

= √0

2

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|

)

+ (( ) )

+ (( )

+ 2

+ 2

= √8

|

 

 

)

 

 

 

1 3

 

 

 

 

1 3

 

 

 

 

1 3

 

1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2√2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= {( 4) − ( 1) ; ( 4) − ( 1) ; ( 4) − ( 1) }

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= {6 − 1; −3 − (−1); 8 − 2} = {5; −2; 6}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| =

 

 

 

 

 

 

 

 

2

+ (( 1 4) )

2

= √5

2

+ (−2)

2

+ 6

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| 1 4

 

 

(( 1 4) ) + (( 1 4) )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= √65

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Длина ребра 1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

равна длине вектора 1 2, а длину вектора мы уже

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нашли | 1 2| = √5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)Угол между ребрами 1 2 и 1 4 найдем при помощи формулы скалярного произведения векторов:

 

 

 

 

 

| ∙ cos

1 2

1

4 =

| 1 2|

∙ | 1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos =

 

1 2 1 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| 1 2| ∙ | 1 4|

 

 

Найдем скалярное произведение векторов при помощи координат:

 

 

= ( 1 2) ∙ ( 1 4) + ( 1 2) ∙ ( 1 4) + ( 1 2)

1 2

1 4

 

 

∙ ( 1 4) = 1 ∙ 5 + 2 ∙ (−2) + 0 ∙ 6 = 1

Длины векторов уже найдены:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| = √5

 

 

 

 

| 1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| = √65

 

 

 

 

| 1 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим значения в формулу cos =

 

 

1 2

1 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| 1 2|∙| 1 4|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos =

1

 

 

=

1

 

=

1

=

1

 

=

√13

 

=

√13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 ∙ 13

65

√5 ∙ √65

√5 ∙ 65

√5 ∙ 5 ∙ 13

5√13

 

 

 

≈ 0,05547

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= arccos 6513 = 86°11(по таблице Брадиса)

3)угол между ребром 1 4 и гранью 1 2 3; Составим каноническое уравнение прямой 1 4:

1 = 1 = 14 1 4 1 4 1

− 1 − (−1) − 2

=−3 − (−1) = 8 − 26 − 1

 

− 1

=

+ 1

=

− 2

 

 

 

 

 

 

 

5

−2

6

 

 

Направляющий вектор прямой имеет вид = {5; −2;

6}

Найдем уравнение плоскости (тем самым выполним пункт 7). Для

составления уравнения плоскости используем формулу:

1

1

1

| 2 1

2 1

2 1| = 0

3 1

3 1

3 1

− 1

− (−1)

− 2

|2 − 1

1 − (−1)

2 − 2| = 0

1 − 1

1 − (−1)

4 − 2

− 1

+ 1 − 2

| 1

2

0 | = 0

0

2

2

(( − 1) ∙ 2 ∙ 2 + 1 ∙ 2 ∙ ( − 2) + ( + 1) ∙ 0 ∙ 0)

− (( − 2) ∙ 2 ∙ 0 + 2 ∙ 0 ∙ ( − 1) + 1 ∙ ( + 1) ∙ 2) = 0 4 − 4 + 2 − 4 − 2 − 2 = 0 4 − 2 + 2 − 10 = 0 2 − + − 5 = 0

Вектор нормали плоскости имеет вид = {2; −1; 1} Найдем угол между прямой и плоскостью по формуле:

| + + |

sin = 2 + 2 + 2 ∙ √ 2 + 2 + 2

где = 5; = −2; = 6 (координаты вектора ),= 2; = −1; = 1 (координаты вектора )

|5 ∙ 2 + (−2) ∙ (−1) + 6 ∙ 1|

sin = √52 + (−2)2 + 62 ∙ √22 + (−1)2 + 12

 

 

 

|10 + 2 + 6|

 

 

 

 

 

 

=

 

 

=

18

 

=

18√65 ∙ √6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

65 ∙ 6

√25 + 4 + 36 ∙ √4

+ 1 + 1

√65 ∙ √6

=

3√390

≈ 0,91147

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

65

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= arcsin 3√65390 = 65° 42(по таблице Брадиса)

4)Площадь грани 1 2 3 найдем при помощи векторного произведения векторов

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2

| 1 2 × 1

3

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= |

(

 

)

 

(

 

)

 

 

 

(

)

 

|

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

× 1 3

 

1 2

 

 

1 2

 

 

1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 3)

(1 3)

 

 

(1 3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

0

 

 

1

0

 

 

 

1

2

 

 

 

 

= |1

 

2 0|

= ∙ |

 

 

 

 

 

| + ∙ |

|

 

 

1 2

× 1 3

 

2

 

 

 

2

| − ∙ |

 

2

0

2

 

 

 

 

 

 

 

0

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ∙ (2

∙ 2 − 2 ∙ 0) − ∙

(1 ∙ 2 − 0 ∙ 0) + ∙ (1 ∙ 2 − 0 ∙ 2)

 

 

 

= 4 − 2 + 2 = {4; −2; 2}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| = √4

2

+ (−2)

2

+ 2

2

= √16 + 4 + 4 = √24 = 2√6

| 1 2

× 1 3

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2

| 1 2 × 1

3

| = 2 ∙ 2√6 = √6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5) Объём пирамиды найдем через смешанное произведение векторов:

 

 

 

 

 

 

=

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

∙ | 1 2

∙ ( 1 3 × 1

4)|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 2)

(1 2)

 

(1 2)

 

 

 

) =

|(1 3)

(1 3)

 

(1 3) |

∙ (

3

×

4

 

1

2

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 4)

(1 4)

 

(1 4)

 

 

 

 

1

2

0

 

 

 

 

 

 

 

2|

 

 

1 2

∙ ( 1 3

× 1 4) = |0 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

−2

6

 

 

 

 

 

= (1 ∙ 2 ∙ 6 + 0 ∙ (−2)

∙ 0 + 2 ∙ 2 ∙ 5)

− (5 ∙ 2 ∙ 0 + (−2) ∙ 2 ∙ 1 + 0 ∙ 2 ∙ 6) = 12 + 20 − (−4) = 36= 16 ∙ | 1 2 ∙ ( 1 3 × 1 4)| = 16 ∙ 36 = 6

6)уравнение прямой 1 2:

Составим параметрическое уравнение прямой

= + 1

{ = + 1

= + 1

где { ; ; } – направляющий вектор прямой, в качестве которого

 

0}

можно взять вектор 1 2 = {1; 2;

{1; 1; 1} – координаты точки, лежащей на прямой, в качестве

 

(1; −1; 2)

которых можно взять координаты

точки

= 1 ∙ + 11 { = 2 − 1= 0 ∙ + 2

= + 1 { = 2 − 1

= 2

Составим каноническое уравнение прямой

Составим каноническое уравнение прямой 1 2:

 

1

 

=

 

1

=

1

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

2

 

 

1

 

2

1

 

− 1

=

 

(−1)

=

− 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 − 1

1

− (−1)

2 − 2

 

− 1

=

 

+ 1

=

 

− 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

0

 

 

 

 

7) Уравнение плоскости (решено в пункте 3) 1 2 3

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

1

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| 2 1

2 1

2 1| = 0

 

 

 

 

 

3 1

3 1

3 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− 1

− (−1)

− 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|2 − 1

1 − (−1)

2 − 2| = 0

 

 

 

 

 

1 − 1

1 − (−1)

4 − 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− 1

+ 1 − 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| 1

2

0 | = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(( − 1) ∙ 2 ∙ 2 + 1 ∙ 2 ∙ ( − 2) + ( + 1) ∙ 0 ∙ 0)

 

− (( − 2) ∙ 2 ∙ 0 + 2 ∙ 0 ∙ ( − 1) + 1 ∙ ( + 1) ∙ 2) = 0

4 − 4 + 2 − 4 − 2 − 2 = 0

 

 

 

 

 

4 − 2 + 2 − 10 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 − + − 5 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8) уравнение высоты, опущенной из вершины 4 на грань 1 2 3

 

4 1 2 3} => =>

 

 

1 2 3

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нормальный вектор плоскости является направляющим вектором

прямой = {2; −1; 1} 4

=

4

=

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− 6

 

 

 

+ 3

 

− 8

 

 

 

 

=

 

 

=

 

 

 

 

 

 

2

 

−1

1

 

 

9) Чертеж:

4

3

 

 

1

2

1

 

 

 

1

1

0

1(1; −1; 2), 2(2; 1; 2), 3(1; 1; 4), 4(6; −3; 8)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]