Добавил:

Kuvshin19933 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Забайкальский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

zadanie_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.01.2019

Размер:

193.71 Кб

Скачать

☆

Задание 1

Даны координаты вершин пирамиды 1 2 3 4. Найти: 1) длину ребра 1 2; 2) угол между ребрами 1 2 и 1 4; 3) угол между ребром 1 4 и гранью 1 2 3; 4) площадь грани 1 2 3; 5) объём пирамиды; 6) уравнение прямой 1 2; 7)уравнение плоскости 1 2 3; 8) уравнение высоты,

опущенной из вершины 4 на грань 1 2 3. Сделать чертеж.

15. 1(1; −1; 2), 2(2; 1; 2), 3(1; 1; 4), 4(6; −3; 8).

Решение:

Для дальнейшего решения найдем вектора по координатам точек и длины

этих векторов (модули векторов):
	= {( 2) − ( 1) ; ( 2) − ( 1) ; ( 2) − ( 1) }
1 2	= {( 2) − ( 1) ; ( 2) − ( 1) ; ( 2) − ( 1) }
				= {2 − 1; 1 − (−1); 2 − 2} = {1; 2; 0}

		= √(( )						2
							2					2	= √1		2			2			2

	\|					)		+ (( ) )		+ (( )						+ 2			+ 0			= √5
\|	\|					)		+ (( ) )		+ (( )		)				+ 2			+ 0			= √5
1 2					1 2				1 2		1 2
	= {( 3) − ( 1) ; ( 3) − ( 1) ; ( 3) − ( 1) }
1 3	= {( 3) − ( 1) ; ( 3) − ( 1) ; ( 3) − ( 1) }
				= {1 − 1; 1 − (−1); 4 − 2} = {0; 2; 2}

		= √(( )						2
							2					2	= √0		2			2			2

	\|					)		+ (( ) )		+ (( )						+ 2			+ 2			= √8
\|	\|					)		+ (( ) )		+ (( )		)				+ 2			+ 2			= √8
1 3					1 3				1 3		1 3

				= 2√2
		= {( 4) − ( 1) ; ( 4) − ( 1) ; ( 4) − ( 1) }
1 4		= {( 4) − ( 1) ; ( 4) − ( 1) ; ( 4) − ( 1) }
					= {6 − 1; −3 − (−1); 8 − 2} = {5; −2; 6}

			√							2
		\| =						2		2	+ (( 1 4) )		2	= √5		2	+ (−2)			2		+ 6	2
								2					2			2				2			2
\| 1 4					(( 1 4) ) + (( 1 4) )

					= √65
1) Длина ребра 1 2
1) Длина ребра 1 2								равна длине вектора 1 2, а длину вектора мы уже


нашли \| 1 2\| = √5

2)Угол между ребрами 1 2 и 1 4 найдем при помощи формулы скалярного произведения векторов:

							\| ∙ cos
1 2	∙ 1		4 =	\| 1 2\|	∙ \| 1	4	\| ∙ cos

cos =			1 2 ∙ 1 4
cos =
		\| 1 2\| ∙ \| 1 4\|

Найдем скалярное произведение векторов при помощи координат:

		= ( 1 2) ∙ ( 1 4) + ( 1 2) ∙ ( 1 4) + ( 1 2)
1 2	∙ 1 4	= ( 1 2) ∙ ( 1 4) + ( 1 2) ∙ ( 1 4) + ( 1 2)
		∙ ( 1 4) = 1 ∙ 5 + 2 ∙ (−2) + 0 ∙ 6 = 1
Длины векторов уже найдены:

			\| = √5
		\| 1 2	\| = √5

			\| = √65
		\| 1 4	\| = √65

Подставим значения в формулу cos =					1 2	∙ 1 4
Подставим значения в формулу cos =
				\| 1 2\|∙\| 1 4\|

cos =

√13

5 ∙ 13

√5 ∙ √65

√5 ∙ 65

√5 ∙ 5 ∙ 13

5√13

≈ 0,05547

= arccos √6513 = 86°11′(по таблице Брадиса)

3)угол между ребром 1 4 и гранью 1 2 3; Составим каноническое уравнение прямой 1 4:

− 1 = − 1 = − 14 − 1 4 − 1 4 − 1

− 1 − (−1) − 2

=−3 − (−1) = 8 − 26 − 1

	− 1	=	+ 1	=	− 2

5			−2		6
Направляющий вектор прямой имеет вид = {5; −2;						6}

Найдем уравнение плоскости (тем самым выполним пункт 7). Для
составления уравнения плоскости используем формулу:
− 1	− 1	− 1
\| 2 − 1	2 − 1	2 − 1\| = 0
3 − 1	3 − 1	3 − 1
− 1	− (−1)	− 2
\|2 − 1	1 − (−1)	2 − 2\| = 0
1 − 1	1 − (−1)	4 − 2
− 1	+ 1 − 2
\| 1	2	0 \| = 0
0	2	2

(( − 1) ∙ 2 ∙ 2 + 1 ∙ 2 ∙ ( − 2) + ( + 1) ∙ 0 ∙ 0)

− (( − 2) ∙ 2 ∙ 0 + 2 ∙ 0 ∙ ( − 1) + 1 ∙ ( + 1) ∙ 2) = 0 4 − 4 + 2 − 4 − 2 − 2 = 0 4 − 2 + 2 − 10 = 0 2 − + − 5 = 0

Вектор нормали плоскости имеет вид = {2; −1; 1} Найдем угол между прямой и плоскостью по формуле:

| + + |

sin = √ 2 + 2 + 2 ∙ √ 2 + 2 + 2

где = 5; = −2; = 6 (координаты вектора ),= 2; = −1; = 1 (координаты вектора )

|5 ∙ 2 + (−2) ∙ (−1) + 6 ∙ 1|

sin = √52 + (−2)2 + 62 ∙ √22 + (−1)2 + 12

|10 + 2 + 6|

18√65 ∙ √6

65 ∙ 6

√25 + 4 + 36 ∙ √4

+ 1 + 1

√65 ∙ √6

3√390

≈ 0,91147

= arcsin 3√65390 = 65° 42′ (по таблице Брадиса)

4)Площадь грани 1 2 3 найдем при помощи векторного произведения векторов

	1
= 2			\| 1 2 × 1			3	\|

				= \|	(					)			(			)			(	)	\|
1 2		× 1 3		= \|		1 2								1 2					1 2		\|
					(1 3)								(1 3)						(1 3)
																2		0		1	0		1	2
				= \|1			2 0\|						= ∙ \|			2		0		1	0	\| + ∙ \|	1	2	\|
1 2		× 1 3		= \|1			2 0\|						= ∙ \|			2		2	\| − ∙ \|		2	\| + ∙ \|	0	2	\|
					0		2					2				2		2		0	2		0	2
					0		2					2
			= ∙ (2				∙ 2 − 2 ∙ 0) − ∙											(1 ∙ 2 − 0 ∙ 0) + ∙ (1 ∙ 2 − 0 ∙ 2)
			= 4 − 2 + 2 = {4; −2; 2}

				\| = √4				2	+ (−2)					2	+ 2		2	= √16 + 4 + 4 = √24 = 2√6
\| 1 2			× 1 3	\| = √4					+ (−2)						+ 2			= √16 + 4 + 4 = √24 = 2√6
	1										1
	1										1
= 2			\| 1 2 × 1			3	\| = 2 ∙ 2√6 = √6

5) Объём пирамиды найдем через смешанное произведение векторов:

						=		1
						=	6		∙ \| 1 2	∙ ( 1 3 × 1	4)\|
							6
								(1 2)		(1 2)	(1 2)
						) =	\|(1 3)			(1 3)	(1 3) \|
∙ (			3	×	4	) =	\|(1 3)			(1 3)	(1 3) \|
1	2	1	3	1	4
								(1 4)		(1 4)	(1 4)
							1		2	0
										2\|
1 2		∙ ( 1 3		× 1 4) = \|0 2						2\|
							5		−2	6
			= (1 ∙ 2 ∙ 6 + 0 ∙ (−2)							∙ 0 + 2 ∙ 2 ∙ 5)

− (5 ∙ 2 ∙ 0 + (−2) ∙ 2 ∙ 1 + 0 ∙ 2 ∙ 6) = 12 + 20 − (−4) = 36= 16 ∙ | 1 2 ∙ ( 1 3 × 1 4)| = 16 ∙ 36 = 6

6)уравнение прямой 1 2:

Составим параметрическое уравнение прямой

= + 1

{ = + 1

= + 1
где { ; ; } – направляющий вектор прямой, в качестве которого
	0}
можно взять вектор 1 2 = {1; 2;
{1; 1; 1} – координаты точки, лежащей на прямой, в качестве
	(1; −1; 2)
которых можно взять координаты	точки

= 1 ∙ + 11 { = 2 − 1= 0 ∙ + 2

= + 1 { = 2 − 1

= 2

Составим каноническое уравнение прямой

Составим каноническое уравнение прямой 1 2:

− 1

−

− 1

−

(−1)

− 2

2 − 1

− (−1)

2 − 2

− 1

+ 1

− 2

7) Уравнение плоскости (решено в пункте 3) 1 2 3

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

− 1

| 2 − 1

2 − 1

2 − 1| = 0

3 − 1

− 1

− (−1)

− 2

|2 − 1

1 − (−1)

2 − 2| = 0

1 − 1

1 − (−1)

4 − 2

− 1

+ 1 − 2

| 1

0 | = 0

(( − 1) ∙ 2 ∙ 2 + 1 ∙ 2 ∙ ( − 2) + ( + 1) ∙ 0 ∙ 0)

− (( − 2) ∙ 2 ∙ 0 + 2 ∙ 0 ∙ ( − 1) + 1 ∙ ( + 1) ∙ 2) = 0

4 − 4 + 2 − 4 − 2 − 2 = 0

4 − 2 + 2 − 10 = 0

2 − + − 5 = 0

8) уравнение высоты, опущенной из вершины 4 на грань 1 2 3

4 1 2 3} => =>

1 2 3

нормальный вектор плоскости является направляющим вектором

прямой = {2; −1; 1} − 4

− 4

− 6

+ 3

− 8

−1

9) Чертеж:

4	3
	3
	1

2	1

		1
1	0

1(1; −1; 2), 2(2; 1; 2), 3(1; 1; 4), 4(6; −3; 8)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.01.2019995.15 Кб2zadanie_1.docx
#
06.01.2019193.71 Кб6zadanie_1.pdf