1.CONURSE.docx
.pdfРис. . |
. Штрихованная система ' движется относительно системы со скоростью |
|
вдоль оси . |
|
|
Рас,отрим материальную точку с массой покоя . Ее координаты в инерциальной системе |
||
отсчета |
определяются как а скорость |
||. Координаты той же точки в другой инерциальной |
системе отсчета ' ( ', ', ', '), движущейся относительно вдоль оси с постоянной скоростью , связаны с координатами в системе преобразованиями Лоренца. В случае, если координатные оси систем и ' сонаправлены с вектором и в начальный момент времени ' начала координат обеих систем совпадали, то преобразования Лоренца даются выражениями:
– лоренц фактор.
Скорость частицы ' в системе ' связана со скоростью в системе соотношением:
Обратные преобразования Лоренца получаются взаимной заменой координат |
' и учетом |
|
изменения направления скорости |
: |
|
При малых скоростях преобразования Лоренца совпадают с выражениями для нерелятивистских преобразований Галилея:
Преобразования Лоренца
Преобразования Галилея
Относительность пространственных расстояний (Сокращение Лоренца Фитц,еральда):
Относительность промежутков времени между событиями (релятивистское замедление времени):
Относительность одновременности событий. Если в системе для событий , и |
, |
и , |
, то в системе ' |
|
|
В общем случае преобразования Лоренца записываются в терминах
векторов При относительном движении систем |
и ', как на рис. . , вектор , |
преобразуется следующим образом: |
|
Скалярное произведение двух векторов , и в |
мерном пространстве времени определяется |
как: |
|
и является инвариантом, т.е. сохраняется во всех инерциальных системах отсчета.
Таким образом, квадрат вектора также является инвариантом. Например, квадрат вектора координаты
определяет "собственное" время частицы (т.е. время в ее системе отсчета). вектор скорости
вводится таким образом, чтобы ( ) |
. импульс, определяется как произведение массы на |
скорость |
|
Следовательно,
Преобразования Лоренца для импульса
Скалярное произведение импульсов является инвариантом по определению. Вместо
произведения импульсов двух частиц, например |
, обычно используют квадрат |
инвариантной массы двух частиц ( инвариант): |
|
( . )
или квадрат переданного импульса ( инвариант)
. . Эффект Доплера |
|
|
Если в системе (рис. |
. ) в направлении оси испущен фотон энергии |
, то его |
энергия , длина волны |
и частота в системе отсчета ' (наблюдатель удаляется от источника |
|
света) составит |
|
|
Параметр ,ещения в этом случае |
, что соответствует красному ,ещению |
. Если |
|||
скорость системы ' направлена в противоположную сторону (наблюдатель приближается к |
|||||
источнику света), то знаки изменяются на противоположные: |
|
||||
( . ) |
|
|
|
|
|
В данном случае наблюдается синее ,ещение: |
. Поскольку в общем случае преобразование |
||||
Лоренца записывается как |
( |
, ( |
) |
, то, в отличие от классической |
|
физики, в релятивистском случае наблюдается поперечный эффект Доплера: |
. |
Из формул, соответствующих синему ,ещению, можно получить классическую формулировку эффекта Доплера, используя разложение в ряд:
Тогда для относительного изменения частоты излучения: |
, что соответствует |
классической формулировке эффекта Доплера (без учета среды): |
|
. . Системы отсчета
Рас,отрим двухчастичный процесс , х импульсы сталкивающихся частиц
соответственно.
При описании взаимодействий частиц и атомных ядер, как и в классической физике, обычно используются две системы отсчета: система покоя мишени и система центра инерции (рис. . ).
Рис. . . Определение некоторых систем отсчета |
|
. Система покоя мишени – система, в которой частица (мишень) покоится, |
, |
. Обычно под лабораторной системой (ЛС) отсчета подразумевается система покоя мишени. В
данной системе инвариант: |
|
|
( . |
) |
|
Энергия налетающей частицы, выраженная через инвариант: |
|
|
( . |
) |
|
. Система центра инерции (СЦИ) – система, в которой |
. Величины в СЦИ в дальнейшем |
|
будут отмечаться звездочкой. В СЦИ . инвариант в СЦИ: |
|
|
( . |
) |
|
В экспериментах физики высоких энергий часто используется система встречных пучков – система, в которой частицы равной массы и равных по абсолютной величине импульсов сталкиваются под углом π , . При система встречных пучков совпадает с СЦИ.
. . Основные формулы релятивистской физики
Универсальность законов сохранения приводит к необходимости установить для релятивистской кинематики такие уравнения, которые удовлетворяли бы к законам сохранения энергии и импульса и были инвариантны относительно преобразований Лоренца:
( |
+ |
) |
+ , |
– полная энергия частицы, |
– масса частицы, |
с– скорость света в вакууме,
–релятивистский импульс частицы,
– Лоренц фактор, |
– скорость частицы, |
–релятивистская кинетическая энергия частицы.
–релятивистское замедление времени,
–время жизни частицы в состоянии покоя,
– времени жизни частицы, движущейся со скоростью |
. |
|
|
, |
|
– |
, |
|
–полная энергия частицы или системы частиц,
–импульс частицы или суммарный импульс системы частиц.
Энергия налетающих частиц Е в ускорителе с неподвижной мишенью, эквивалентном коллайдеру с пучками частиц массы и энергии *:
Порог реакции. Если на неподвижной мишени под действием налетающих частиц , происходит реакция , + + +... и энергия реакции (изменение суммарной массы частиц) (, – , ,) , то минимальная кинетическая энергия частицы а, необходимая для осуществления такой реакции
. . Система единиц Гаусса
Время с
Энергия, масса
, (электрон Вольт) |
. · |
, |
Энергия покоя
электрона
протона
нейтрона
.
Длина |
(ферми, фемтометр) |
, |
(ангстрем)
Скорость света в вакууме
Заряд электрона |
. · |
Приведенная постоянная Планка
Константы
При решении задач будет использоваться система единиц Гаусса, в которой основными единицами являются сантиметр, грамм и секунда. В данной системе диэлектрическая и магнитная проницаемости являются безразмерными величинами, причём для вакуума они приняты равными единице. В качестве единицы измерения энергии используется внесистемная единица , (электрон Вольт) – энергия, приобретаемая электроном при прохождении потенциала в Вольт.
. |
. Энергия и порог реакции |
|
|
|
|
|
Частица массы , налетает на покоящуюся частицу массы |
. В результате реакции в конечном |
|||||
состоянии образуется |
частиц с массами ' ,… |
' Определить энергию и порог реакции. |
||||
Обозначим суммарную массу взаимодействующих частиц , |
, |
(индекс |
соответствует |
|||
начальному состоянию ( |
, )), суммарную массу образовавшихся частиц |
' + ' +… ' |
||||
, |
, (индекс , обозначает конечное состояние (, |
, )). Энергия реакции |
соответствует |
изменению суммарной массы частиц:
Пороговая энергия реакции – это дополнительная кинетическая энергия, необходимая для осуществления эндотермической реакции ( ). Данное значение энергии соответствует предельному случаю, когда продукты реакции образуются с нулевыми импульсами в СЦИ и инвариант в конечном состоянии равен квадрату суммы масс конечных продуктов: . В начальном состоянии в СЦИ . Следовательно, необходимая суммарная энергия сталкивающихся частиц должна быть .
Пороговая кинетическая энергия в СЦИ:
В лабораторной системе отсчета частица мишень покоится: | |
| |
, |
. |
|
Соответственно, |
инвариант в лабораторной системе в начальном состоянии равен: |
|
Приравнивая в начальном и конечном состояниях, получаем:
Раскладывая разность квадратов и выделяя , получим ( . ):
Значение пороговой энергии реакции в лабораторной системе всегда больше соответствующего значения в системе центра инерции. Их разность определяет ту часть энергии, которая идет на движение центра инерции в лабораторной системе.
. . Энергии частиц в двухчастичном распаде |
|
|
|
Получим выражение для энергий и импульсов продуктов распада |
, + |
через массы частиц в |
|
релятивистском случае в СЦИ. |
|
|
|
СЦИ связана с распадающейся частицей С, ее энергия в данной системе С |
С , продукты |
||
распада разлетаются под углом |
. Законы сохранения энергии и импульса: |
Учитывая, что и подставляя выражение |
через , во второе уравнение, получим: |
Отсюда для частицы ,:
Выражения для частицы получаются перестановкой соответствующих индексов.
Полезно выписать выражения для энергий продуктов распада в некоторых частных случаях:
распад на частицы равной массы , |
. |
образование безмассовой частицы , |
. |
|
|
|
|||
( . |
) |
|
|
|
|
|
|
нерелятивистский случай: |
|
|
|
|
|
|
|
( . |
) |
|
|
|
|
|
|
Задачи |
|
|
|
|
|
|
|
. . Альфа частица ( |
) с кинетической энергией |
|
М, испытывает лобовое |
||||
столкновение с ядром золота ( |
я |
). Рассчитать расстояние максимального сближения |
|||||
частицы с ядром золота. |
|
|
|
|
|
|
|
[Решение |
|
|
|
|
|
|
|
. . Протон с кинетической энергией Т |
М, налетает на неподвижное ядро |
, . Определить |
|||||
дифференциальное сечение рассеяния |
σ Ω на угол |
|
. Как изменится величина |
||||
дифференциального сечения рассеяния, если в качестве рассеивающего ядра выбрать , ? |
|||||||
[Решение |
|
|
|
|
|
|
|
. . Частица массы , налетает на покоящуюся частицу массы |
. В результате реакции в |
||||||
конечном состоянии образуется |
частиц с массами ' ,… ' |
. Определить энергию и порог |
|||||
реакции. |
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим суммарную массу взаимодействующих частиц |
, |
(индекс |
соответствует |
||||
начальному состоянию ( |
, )), суммарную массу образовавшихся частиц |
|
|||||
(индекс , обозначает конечное состояние Энергия реакции |
соответствует изменению |
||||||
суммарной массы частиц: |
|
|
|
|
|
|
Пороговая энергия реакции – это дополнительная кинетическая энергия, необходимая для осуществления эндотермической реакции ( ). Данное значение энергии соответствует предельному случаю, когда продукты реакции в СЦИ образуются с нулевыми импульсами и инвариант в конечном состоянии равен квадрату суммы масс конечных продуктов:
. В начальном состоянии в СЦИ |
. Следовательно, необходимая суммарная энергия |
||
сталкивающихся частиц должна быть |
*, + * |
,, , |
. |
Пороговая кинетическая энергия в СЦИ:
В лабораторной системе отсчета частица мишень покоится: . Соответственно, |
инвариант в |
лабораторной системе в начальном состоянии равен: |
|
.
Приравнивая в начальном и конечном состояниях, получаем:
Раскладывая разность квадратов и выделяя , получим
Значение пороговой энергии реакции в лабораторной системе всегда больше соответствующего значения в системе центра инерции. Их разность определяет ту часть энергии, которая идет на движение центра инерции в лабораторной системе.
. . Получим выражение для энергий и импульсов продуктов распада |
, + |
через массы |
|
частиц в релятивистском случае в СЦИ. |
|
|
|
СЦИ связана с распадающейся частицей С, ее энергия в данной системе |
С |
С , продукты |
|
распада разлетаются под углом |
. Законы сохранения энергии и импульса: |
|
Учитывая, что и подставляя выражение |
через , во второе уравнение, получим: |
Отсюда для частицы ,:
Выражения для частицы получаются перестановкой соответствующих индексов.
Полезно выписать выражения для энергий продуктов распада в некоторых частных случаях:
распад на частицы равной массы |
, |
. |
образование безмассовой частицы |
, |
. |
нерелятивистский случай: |
|
|
. . Рассчитать кинетические энергии |
|
частицы и ядра |
|
|
, образующихся при распаде |
|||||||
, |
|
+ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . |
Рассчитать дифференциальное сечение рассеяния |
|
частицы с кинетической энергией |
|||||||||
М, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) на ядре кальция |
, на угол |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
) на ядре меди |
на угол |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
) на ядре молибдена |
|
на угол |
|
, |
|
|
|
|
|
|||
) на ядре серебра |
,g на угол |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: |
) . |
барн стер, |
) . |
б |
стер, ) . |
б стер, |
) |
. б стер |
|
|||
. . |
Рассчитать отношение сечений рассеяния |
частиц с кинетической энергиями |
М, на |
|||||||||
ядре |
, |
под углами |
и |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
. · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . |
Рассчитать расстояния максимального сближения |
|
|
|
|
|||||||
) частицы с кинетической энергией |
М, с ядром |
, |
и |
, |
|
|||||||
) частицы с кинетической энергией |
М, с ядром |
,, |
|
|
||||||||
) протона с кинетической энергией |
М, с ядром |
, , |
|
|
|
|