35
Рисунок 2.7.5. Отошедшая ударная волна
Следует также отметить, что по соотношению (2.7.11) одним и тем же числу Маха набегающего потока и углу поворота потока соответствуют два возможных значения угла α. Опыт показывает, что более устойчивым, а значит и физически реализуемым, является решение с меньшим значением угла α, что соответствует более слабому скачку.
2.8 Теория мелкой воды
Замечательную аналогию движения сжимаемого газа представляет собой движение относительно тонких слоев несжимаемой жидкости в поле силы тяжести. Для тонкого слоя жидкости нормальная к поверхности дна составляющая скорости Wn обычно значительно меньше, чем касательная составляющая скорости Wτ, параллельная дну. В этом случае нормальной составляющей скорости обычно пренебрегают, а значение касательной составляющей скорости полагают постоянным по всей высоте слоя. В этом приближении, называемом гидравлическим, задача является двумерной, и горизонтальный слой характеризуется в каждой точке на своей
поверхности высотой h и значением скорости W τ . Если толщина слоя достаточно велика, чтобы пренебречь трением, общие уравнения движения жидкости сводятся к уравнениям Эйлера (1.3.2), где для давления на дне канала справедливо гидростатическое приближение P = ρgh. Уравнение сохранения массы для тонкого слоя имеет вид
∂h |
|
(2.8.1) |
∂t |
+ (h Wτ )=0 . |
|
|
|
Уравнения движения приобретают следующую форму
36
|
|
|
∂W τ |
||
∂t |
+(W τ ) W τ =−g h . |
|
|
|
|
Если |
сделать |
формальную замену |
уравнения (2.8.1), (2.8.2) примут вид
∂ ρ̃ |
|
|
|
|
|
|
+ (ρ̃ W τ )=0 , |
|
|
||
∂t |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∂W τ |
|
|
̃ |
||
∂t |
|
+(W |
τ ) W τ =− |
ρ̃ |
P . |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(2.8.2) |
|
|
̃ |
1 |
2 |
|
g |
|
2 |
|
ρ =ρ h , P= |
|
ρ g h |
= |
|
ρ |
|
, то |
|
2 |
2 ρ |
|
||||||
̃ |
|
|
|
̃ |
|
|||
Эти уравнения формально полностью совпадают с уравнениями адиабатического течения политропного газа с показателем адиабаты k = 2
( P̃ ρ̃ 2 ). Это обстоятельство позволяет непосредственно переносить в теорию «мелкой воды» все газодинамические результаты, относящиеся к движению без образования ударных волн. Скорость c=√g h играет здесь роль скорости звука. Если жидкость движется со скоростью W < c (так называемое спокойное течение), то влияние возмущений распространяется на весь поток, как вниз, так и вверх по течению. Если же движение происходит со скоростью W > c, (стремительное течение) то влияние возмущений распространяется лишь на определенные области потока вниз по течению.
2.9 Волны горения и детонации в газах
Рассмотрим процесс горения (или, в принципе, процесс иной сильно экзотермической реакции), распространяющийся по уже готовой газовой смеси исходных реагентов. Как показывает эксперимент, можно выделить, как минимум, два режима распространения горения.
Первый режим называется режимом медленного горения или дефлаграцией. Достаточно повысить температуру хотя бы в каком-нибудь месте смеси; начавшаяся в этом месте реакция в результате выделения тепла сама будет производить нагревание окружающего газа и, таким образом, реакция, раз начавшись, будет сама собой распространяться по газу. Горение газовой смеси сопровождается также и движением газа. Область сгоревшего газа отделена от газа, горение в котором еще не началось, некоторым переходным слоем, где и происходит самая реакция
37
(зона горения или пламя). С течением времени этот слой передвигается вперед со скоростью, которую можно назвать скоростью распространения горения в газе. Величина скорости распространения зависит от интенсивности теплопередачи из зоны горения в холодную исходную газовую смесь. Основной механизм теплопередачи состоит в обычной теплопроводности. В таком случае говорят о тепловом механизме распространения пламени. Возможен также диффузионный механизм, когда различные химические агенты могут диффундировать из продуктов реакции в не прореагировавшую еще смесь и инициировать реакцию. В любом случае процесс распространения определяется молекулярным переносом, а значит, является достаточно медленным процессом.
Рассмотрим простейшую связь между скоростью пламени и свойствами реагирующих веществ (Михельсон, 1890). Положим, что при
температуре среды T меньшей начальной T < Tstart реакция не идет, по окончании же реакции среда принимает температуру Tstop . Изначально
среда имеет температуру T2 , фронт пламени движется со скоростью W , причем движение газа является ламинарным (такое горение называется ламинарным). Температура в зона горения меняется в соответствии с рис. 2.9.1.
Рисунок 2.9.1. Распределение температуры в волне горения
Скорость реакции α равна той части реагирующей массы, что сгорает в течение 1 секунды. Для газа с постоянной теплоемкостью условие баланса тепла на фронте волны горения можно записать как
λ dT =ρ W C P (T start −T 2) . |
(2.9.1) |
|
dx |
|
|
Ширину зоны горения Δx можно оценить как |
|
|
W |
|
|
x= α |
, |
(2.9.2) |
38
dT |
≈ |
(T stop−T start ) |
= |
α |
(T stop−T start ) . |
(2.9.3) |
|
dx |
x |
W |
|||||
|
|
|
|
Подставляя (2.9.3) в (2.9.1) для скорости распространения пламени получаем
2 |
|
α λ |
|
T stop−T start |
|
|
|
W |
= |
|
( |
|
) . |
(2.9.4) |
|
ρ C P |
T start −T 2 |
||||||
|
|
|
|
|
Для смеси 6% метана с 94% воздуха при атмосферном давлении скорость фронта ламинарного пламени составляет W = 5 см/с, толщина фронта Δx = 0.5 мм.
Для гремучего газа (стехиометрической смеси водорода и кислорода) W = 10 м/с, толщина фронта Δx = 0.005 мм.
Когда движение газа за фронтом волны горения становится турбулентным, скорость движения пламени значительно возрастает, а такое горение называют турбулентным.
Наряду с описанным выше режимом горения возможен и совершенно иной механизм распространения горения, связанный с ударными волнами. Ударная волна вызывает при своем прохождении нагрев газа – температура за фронтом ударной волны выше, чем перед ним. Если интенсивность ударной волны достаточно велика, то вызываемое ею повышение температуры может оказаться вполне достаточным, чтобы за фронтом волны могло начаться горение. Ударная волна при своем движении будет тогда поджигать газовую смесь, то есть горение будет распространяться со скоростью, равной скорости волны. Это на несколько порядков быстрее, чем при обычном горении. Такой механизм распространения горения называют детонацией.
Распределение параметров за ударной волной, поджигающей газовую смесь, показано на рис. 2.9.2.
39
Рисунок 2.9.2. Распределение параметров за ударной волной. А – свежая смесь, Б – продукты сгорания, I – скачок уплотнения, II – зона горения
При достаточно больших характерных размерах задачи непосредственно ударную волну и следующую за ней достаточно узкую область горения объединяют в единую поверхность разрыва, которую называют детонационной волной.
На детонационной волне должны выполняться все те же условия непрерывности плотности потоков массы, импульса и энергии, как и на фронте обычной ударной волны, рассмотренной в п. 2.4. Так для потока массы, аналогично (2.4.4)
ρ1 W 1=ρ 2 W 2=G=const .
Для потока импульса, аналогично (2.4.5),
P1−P2=G (W 2−W 1)=W 1W 2(ρ 1−ρ 2)=ρ 2 W 22−ρ1 W 12 . |
|
|||||
Сохранение же полной энтальпии запишем в виде |
|
|||||
(C P,1 T 1+h10)+ |
W |
2 |
=(C P ,2 T 2+h20)+ |
W 2 |
|
|
|
1 |
2 |
. |
(2.9.5) |
||
2 |
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
||
Здесь мы учли, что в общем случае исходные вещества и продукты горения
– газы, обладающие разными свойствами и молекулярным весом, термодинамическая энтальпия которых определяется соотношением