59
W r=√kk +−11 acrit .
Это соответствует предельному значению скорости газового потока, см. п. 1.5.
Если угол φ2, определяемый соотношением (3.7.18), оказывается больше максимально возможного значения, определяемого по (3.7.19), то у стенки канала OB может (формально) образоваться область вакуума. В случае, когда истечение газа происходит не в вакуум, а в среду с ненулевым давлением, сектор разряжения кончается тогда, когда давление на выходе из сектора равняется давлению в окружающей среде. Впрочем, реальная картина истечения часто бывает значительно сложнее, см. рис. 4.1.6, 4.1.7.
3.8 Общая задача о двумерном стационарном движении газа. Уравнение Чаплыгина
Кроме достаточно частных случаев сверхзвукового течения газа, рассмотренных в п. 3.1 – 3.7, в газодинамике рассматривается задача и о произвольном стационарном плоском движении газа. В случае, когда движение газа потенциально, изоэнтропно и в нем отсутствуют ударные волны, решение можно свести к одному линейному дифференциальному уравнению в частных производных (С.А. Чаплыгин, 1902).
Это осуществляется путем преобразования годографа – переходом от независимых пространственных координат (x, y) (это так называемая
физическая плоскость), к координатам (Wx, Wy) (плоскость годографа). Вместо потенциала скорости φ вводится функция Φ,
Φ =−φ +x W x+ y W y |
, |
(3.8.1) |
||||
x= |
∂Φ |
, |
y= |
∂Φ |
. |
|
∂W x |
∂W y |
|
||||
|
|
|
|
|
||
Удобнее, однако, пользоваться не декартовыми компонентами скорости, а ее абсолютной величиной W и углом Θ, образуемым ею с осью
x, Wx = W cos Θ , Wy = W sin Θ.
Связь между потенциалом скорости φ и функцией Φ принимает вид
φ =−Φ +W |
∂Φ |
(3.8.2) |
∂W . |
60
Уравнение неразрывности выглядит следующим образом
|
∂ |
(ρ W x)+ |
∂ |
(ρ W y)=0 . |
|
||||
|
|
∂ y |
|
||||||
|
∂ x |
|
|
|
|
|
|||
Написав производные в виде якобианов получаем |
|||||||||
|
∂(ρ W x , y) |
− |
∂(ρ W y , x) |
=0 . |
|
||||
|
∂( x , y) |
|
∂( x , y) |
|
|||||
Умножив на якобиан |
∂(x , y) |
, получаем уравнение |
|||||||
∂(W ,Θ ) |
|||||||||
|
∂(ρ W cosΘ , y)− ∂(ρ W sinΘ , x)=0 . |
||||||||
|
|
∂(W ,Θ ) |
|
∂(W ,Θ ) |
|
||||
Раскрывая якобианы, после преобразований получаем уравнение Чаплыгина,
∂2Φ2 + |
W 2 |
|
|
∂2Φ |
+W |
∂Φ |
=0 |
|
|
|
2 |
2 |
∂W |
. |
(3.8.3) |
||||
∂Θ |
1−W ∂W |
|
|||||||
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь скорость звука а является заданной функцией скорости, определяемой уравнение состояния газа и уравнением Бернулли (1.4.4).
В начале XX-го века были разработаны различные методы решения уравнения (3.8.3), в первую очередь метод характеристик, которые позволяют рассчитывать различные конфигурации течения, в первую очередь форму сверхзвуковых сопел.