|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=√ |
k |
|
μ |
|
|
|
||
|
|
При одинаковой температуре |
|
4 |
4 |
|
1 |
, где µ – молярная масса |
||||||||||
|
a1 |
k1 |
μ4 |
|||||||||||||||
соответствующего |
газа, |
а k – показатель его адиабаты. Когда |
||||||||||||||||
|
P4 |
→∞ ,M 1 |
→ |
k1+1 |
|
a4 |
, |
поэтому |
для |
|
достижения максимально |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
P1 |
|
k4−1 a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a4 |
|
||||
возможного |
числа |
|
Маха |
M1 |
желательно |
иметь отношение |
||||||||||||
|
a1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
максимально большим. Поэтому в качестве газа 1 часто выбирают аргон (µ1 = 40) , а в качестве газа 4 выбирают водород (µ4 = 2) .
2.7 Косые скачки уплотнения
Фронт косого скачка располагается наклонно к направлению набегающего на него потока. Косые скачки возникают в случае, когда, пересекая фронт скачка газовый поток должен изменить свое направление. Так бывает, например, при обтекании клиновидных тел, рис. 2.7.1.
Рисунок 2.7.1. Теневая фотография обтекания тела сверхзвуковым потоком
Для потока газа, проходящего фронт скачка постоянной интенсивности, баланс массы имеет вид
ρ 2W 2, n=ρ1 W 1, n=G=const . |
(2.7.1) |
Здесь P1, T1, ρ1, W1 – давление, температура, плотность и скорость за
фронтом ударной волны; P2, T2, ρ2 ,W2 – перед фронтом, а W1,n ,W2,n – нормальная к поверхности скачка составляющая скорости за скачком и
перед ним, соответственно, рис. 2.7.2.
31
Рисунок 2.7.2. Схема косого скачка
Для нормальной компоненты импульса газового потока
P1−P2=G (W 2, n−W 1, n)=W 1, n W 2, n (ρ 1−ρ 2)=ρ 2 W 2,2 |
n−ρ1 W 1,2 |
n . |
(2.7.2) |
Для тангенциальной компоненты скорости газового потока |
|
|
|
W 2,τ =W 1,τ =W τ , |
|
|
(2.7.3) |
так как для скачка, вдоль которого нет градиента давления (это скачок постоянной интенсивности), нет сил, которые могли бы изменить скорость газового потока в данном направлении.
При прохождении газом через фронт ударной волны его полная энтальпия должна сохраняться. Для идеального газа, у которого теплоемкость постоянна, следует, что (см. п. 2.4)
|
|
|
|
|
|
|
W 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
W 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
T |
|
=T |
− |
|
1 |
|
;T |
=T |
− |
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
(2.7.4) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
0 |
|
|
2CP |
2 |
|
0 |
|
|
2 C P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Здесь |
W 22=W 2,2 |
n+W 2,2 |
τ , |
|
|
W 12=W 1,2 n+W 1,2 |
τ . |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
Учитывая соотношение (2.7.3) можно ввести температуру |
||||||||||||||||||||||||||||
частичного торможения T0,n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
2 |
|
|
|
|
W |
2 |
|
|
|
|
|
W 2 |
|
|
|
W 2 |
|
||||
T |
|
|
=T |
− |
|
1,τ |
=T |
+ |
|
|
1, n |
=T |
|
− |
2,τ |
=T |
|
+ |
2,n |
. |
(2.7.5) |
|||||||||
|
|
2CP |
|
|
|
|
2CP |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
0, n |
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
2 CP |
|
|
0 |
|
|
2 |
|
2 CP |
|
||||||||||
В таком случае, аналогично (2.4.6), получаем |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
P1−P2=(ρ1−ρ 2) R T 0, n+ |
|
R |
( ρ2 W 2,2 |
n−ρ1 W 1,2 n) . |
(2.7.6) |
|||||||||||||||||||||||||
2C P |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
32
Отсюда, воспользовавшись (2.7.2), получаем выражение, аналогичное соотношению Л. Прандтля (2.4.7) для прямого скачка
|
P1−P2 |
|
2 k |
|
2 k |
2 2 |
|
k −1 |
|
2 |
|
||
W 1, n W 2, n= |
|
= |
|
RT 0,n = |
|
a0, n=acrit− |
|
W τ . |
(2.7.7) |
||||
ρ 1−ρ 2 |
k+1 |
k +1 |
k +1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Аналогично соотношению (2.4.9) также получаем |
|
|
|
||||||||||
P1+P2=ρ 1 RT 1+ρ 2 R T 2=(ρ1+ρ 2) R T 0, n− |
k−1 |
(ρ 2W 2,2 |
n+ρ 1W 1,2 |
n) . (2.7.8) |
|||||||||
2 k
Так как из (2.7.1), (2.7.2) следует, что
ρ 2W 22, n+ρ 1 W 21,n=W 1, n W 2, n(ρ1+ρ 2)= Pρ1−−Pρ 2 (ρ1+ρ 2) , 1 2
то аналогично (2.4.10) получаем все ту же адиабату Гюгонио (ударную адиабату)
|
|
|
|
k +1 |
|
P2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
k−1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ρ1 |
= |
|
|
P1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ρ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
k+1 P2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
k−1 P1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Как видим, эта адиабата одинакова как для прямых, так и для косых |
|||||||||||||||||||||||||
скачков. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Аналогично (2.4.12) определим связь между интенсивностью косого |
|||||||||||||||||||||||||
скачка |
|
P1 |
|
и числом Маха |
M 2, n= |
W 2, n |
, где a2 |
– скорость звука перед |
|||||||||||||||||||
|
P2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P2 |
|
|
a2 |
|
|
||||||
фронтом ударной волны, a22=k |
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
ρ 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P1 |
|
|
2 k |
|
|
2 |
|
|
|
k −1 |
|
2 k |
|
2 |
2 |
|
|
k −1 |
|
|
||||||
|
|
= |
|
|
|
|
M |
2,n− |
|
= |
|
M |
2 sin |
α− |
|
|
. |
(2.7.9) |
|||||||||
|
P2 |
|
k+1 |
k +1 |
k +1 |
k +1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Так как sinα 1 , то при одном и том же числе Маха набегающего
потока косой скачек всегда |
слабее прямого (последний есть частный |
|
|
α= |
π |
случай косого скачка, когда |
2 . |
|
33 |
|
|
|
|
|
|
Отметим, что как следует из (2.7.9), при |
|
sinα M = |
1 |
|
косой скачок |
|
|
M |
2 |
||||
|
P |
|
|
|
||
вырождается в бесконечно слабую волну |
1 |
→1 . Угол |
|
αM называется |
||
P |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
||
углом Маха. Он соответствует половине угла раствора конуса, который образует фронт звуковых волн, излучаемых объектом, движущимся с числом Маха M2, рис. 2.7.3. Таким образом для косого скачка
α M α π2 .
Рисунок 2.7.3. Образование фронта слабой ударной волны
Подставив в ударную адиабату соотношение (2.7.9) получаем
|
ρ1 |
|
|
|
k +1 |
|
|
|||
|
= |
|
|
k −1 |
. |
(2.7.10) |
||||
|
ρ2 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|||
|
1+ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
k−1 M 22sin2α |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Угол α, который образует с косым скачком вектор скорости |
||||||||
набегающего |
|
потока, рис. 2.7.1, |
найдем из следующих балансовых |
|||||||
соотношений.
Угол поворота потока ω после прохождения косого скачка , ω= α -β. Из
соотношения неразрывности (2.7.1) следует |
W 1, n |
= |
ρ2 |
. А так как |
|||||||||
W 2,n |
ρ1 |
||||||||||||
W τ =W 1, n tg α=W 2,n tg β |
, то окончательно получаем |
|
|||||||||||
|
ρ 1 |
|
|
k +1 |
|
|
|
|
|
||||
tg α = |
tg β = |
|
k −1 |
tg (α −ω ) . |
|
|
(2.7.11) |
||||||
ρ 2 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
1+ |
k −1 |
|
M 22sin2α |
|
|
|
|
|
|
|
34
Соотношение (2.7.11) позволяет определить угол α, который образует с косым скачком вектор скорости набегающего потока, если известно число Маха набегающего потока M2 и известен угол поворота потока ω (он равен половине раствора клина, порождающего скачок), рис. 2.7.4. Каждому значению M2 отвечает некий предельно возможный угол отклонения потока ωmax . При M2 = 2 предельно возможное отклонение
потока ωmax = 230 , при M2 |
= 4 предельно возможное отклонение потока |
ωmax = 390 , при M 2 →∞ |
предельно возможное отклонение потока ωmax |
= 460 . |
|
Рисунок 2.7.4. Зависимость угла α, который образует с косым скачком вектор скорости набегающего потока, от угла поворота потока ω
Если, исходя из геометрических соображений, необходимо, чтобы поток повернул на угол, больше предельно возможного отклонения потока для данного числа Маха, то косой скачок не образуется, а впереди тела формируется отошедшая прямая ударная волна, за которой течение газа уже является дозвуковым, рис. 2.7.5.